Question

10．如圖所示，將斜邊長為10cm，較短直角邊為5cm的直角三角形繞較長直角邊長為軸旋轉一周得到一個圓錐，當圓錐中的內接圓柱的底面半徑為$\frac{5}{2}$cm時，圓柱的側面積有最大值，最大值為$\frac{25\sqrt{3}π}{2}$cm²．

Answer 1

分析 設內接圓柱的底面半徑為r，高為h，根據(jù)比例關系可用含r的式子表示h，再根據(jù)側面積公式列出S關于r的函數(shù)解析式，根據(jù)二次函數(shù)性質可得其最值情況．

解答 解：由勾股定理可得直角三角形的另一條直角邊為$\sqrt{1{0}^{2}-{5}^{2}}$=5$\sqrt{3}$，
設內接圓柱的底面半徑為r，高為h，
由圖可知，

$\frac{h}{5\sqrt{3}}$=$\frac{5-r}{5}$，
∴h=$\sqrt{3}$（5-r），
內接圓柱的側面積S=2πr•h=2πr•$\sqrt{3}$（5-r）=-2$\sqrt{3}$π（r-$\frac{5}{2}$）²+$\frac{25\sqrt{3}π}{2}$，
∴當r=$\frac{5}{2}$cm時，圓柱的側面積最大，最大面積為$\frac{25\sqrt{3}π}{2}$cm²，
故答案為：$\frac{5}{2}$，$\frac{25\sqrt{3}π}{2}$．

點評 本題主要考查二次函數(shù)的應用及圓柱側面積的計算，根據(jù)比例式得出圓柱的高與底面半徑的關系及熟練掌握函數(shù)性質是解題的關鍵．