Question

18．如圖，已知拋物線y=x²+bx+c與x軸交于點A、B，AB=2，與y軸交于點C，對稱軸為直線x=2，對稱軸交x軸于點M．
（1）求拋物線的函數(shù)解析式；
（2）設P為對稱軸上一動點，求△APC周長的最小值；
（3）設D為拋物線上一點，E為對稱軸上一點，若以點A、B、D、E為頂點的四邊形是菱形，則點D的坐標為（2，-1）．

Answer 1

分析 （1）首先確定A、B兩點坐標，利用待定系數(shù)法即可解決問題．
（2）如圖1中，連結BC，與對稱軸交點則為點P，連接AP、AC．由線段垂直平分線性質，得AP=BP，推出CB=BP+CP=AP+CP，AC+AP+CP=AC+BC，根據(jù)“兩點之間，線段最短”，得△APC周長的最小，求出AC、BC的長即可．
（3）觀察圖象可知當點D在拋物線的頂點時，可得以點A、B、D、E為頂點的四邊形為菱形，由此即可求出點D坐標．

解答 解：（1）拋物線與x軸交于點A、B，且AB=2，
根據(jù)對稱性，得AM=MB=1，
∵對稱軸為直線x=2，
∴OA=1，OB=3，
∴點A、B的坐標分別為（1，0）、（3，0），
把A、B兩點坐標代入y=x²+bx+c，得到$\left\{\begin{array}{l}{1+b+c=0}\\{9+3b+c=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-4}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴拋物線的解析式為：y=x²-4x+3．

（2）如圖1中，連結BC，與對稱軸交點則為點P，連接AP、AC．

由線段垂直平分線性質，得AP=BP，
∴CB=BP+CP=AP+CP，
∴AC+AP+CP=AC+BC，
根據(jù)“兩點之間，線段最短”，得△APC周長的最小，
∵C為（0，3）
∴OC=3，
在Rt△AOC中，有AC=$\sqrt{O{A}^{2}+O{C}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
在Rt△BOC中，有BC=$\sqrt{O{B}^{2}+O{C}^{2}}$=3$\sqrt{2}$，
∴△APC的周長的最小值為：$\sqrt{10}$+3$\sqrt{2}$．

（3）如圖2中，當點D為拋物線的頂點時，EM=DM時，以點A、B、D、E為頂點的四邊形是菱形，此時點D（2，-1）

故答案為D（2，-1）．

點評 本題考查二次函數(shù)綜合題、待定系數(shù)法、菱形的判定和性質、勾股定理等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識，學會利用對稱解決最短問題，學會利用菱形的對角線互相垂直解決問題，屬于中考壓軸題．