Question

12．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=10，BC=5，點P，D分別是線段AB，AC上的兩個動點，則PC+PD的最小值為8．

Answer 1

分析 首先作C關于AB的對稱點E，作ED⊥AC于點D，交于AB于點P，則此時PC+PD有最小值，且PC+PD=DE，然后利用直角三角形的性質(zhì)，求得CE的長，繼而證得△CDE∽△ABC，利用相似三角形的對應邊成比例，求得答案．

解答 解：作C關于AB的對稱點E，作ED⊥AC于點D，交于AB于點P，則此時PC+PD有最小值，且PC+PD=DE，
∵在Rt△ABC中，AC=10，BC=5，
∴AB=$\sqrt{B{C}^{2}+A{C}^{2}}$=5$\sqrt{5}$，
∴CE=2×$\frac{AC•BC}{AB}$=4$\sqrt{5}$，
∵∠E+∠ECD=∠A+∠ECD=90°，
∴∠A=∠E，
∵∠CDE=∠ACB=90°，
∴△CDE∽△ABC，
∴$\frac{DE}{AC}=\frac{CE}{AB}$，
即$\frac{DE}{10}=\frac{4\sqrt{5}}{5\sqrt{5}}$，
∴DE=8．
∴PC+PD的最小值為：8．
故答案為：8．

點評 此題考查了最短路徑問題、勾股定理、直角三角形的性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)．注意準確找到P，D的位置是解此題的關鍵．