Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC中點(diǎn)A（-3，0），B（0，3），C（-1，4），在x軸正半軸中有一個點(diǎn)D（1，0），連結(jié)BD，問：
（1）△ABC是

 

三角形；
（2）在坐標(biāo)軸上找一個點(diǎn)P，使得以B、D、P為頂點(diǎn)的△BDP與△ABC相似，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定,坐標(biāo)與圖形性質(zhì),勾股定理的逆定理

專題：

分析：（1）根據(jù)坐標(biāo)可求得AB、AC、BC的長度，再利用勾股定理的逆定理可判斷△ABC為直角三角形；
（2）分點(diǎn)P在x軸上時，只能在點(diǎn)D的左側(cè)有∠BPD=90°或∠PBD=90°，點(diǎn)P在y軸上時，只能在B點(diǎn)的下方，同理分兩種情況，再利用對應(yīng)邊成比例可求得其坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵A（-3，0），B（0，3），C（-1，4），
∴AB²=3²+3²=18，AC²=（-1+3）²+4²=20，BC²=（-1）²+（4-3）²=2，
∴AC²=AB²+BC²，
∴△ABC為直角三角形，
故答案為：直角；
（2）∵△ABC為直角三角形，
∴當(dāng)△BDP與△ABC相似時，△BDP為直角三角形，且BD=

10

，
當(dāng)P點(diǎn)在x軸上時，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，0），根據(jù)題意可知P點(diǎn)只能在D點(diǎn)的左側(cè)，所以PD=1-x，此時有兩種情況：
①當(dāng)∠BPD=90°時，則有∠PBD=∠CAB，∴

PD

BC

=

BD

AC

，即

1-x

2

=

10

20

，解得x=0，此時P點(diǎn)為（0，0）；
②當(dāng)∠PBD=90°時，則有∠PDB=∠C，∴

PD

AC

=

BD

BC

，即

1-x

20

=

10

2

，解得x=-9，此時P點(diǎn)為（0，0）；
當(dāng)P點(diǎn)在y軸上時，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，y），根據(jù)題意可知P點(diǎn)只能在B點(diǎn)下方，所以PB=3-y，此時有兩種情況：
①當(dāng)∠BPD=90°時，則有∠PBD=∠CAB，∴

PB

AB

=

BD

AC

，即

3-y

18

=

10

20

，解得y=0，此時P點(diǎn)為（0，0）；
②當(dāng)∠PDB=90°時，則有∠PBD=∠CAB，∴

PB

AC

=

BD

AB

，即

3-y

20

=

10

18

，解得y=-

1

3

，此時P點(diǎn)為（0，

1

3

）；
綜上可知P點(diǎn)的坐標(biāo)為：（0，0）或（-9，0）或（0，-

1

3

）．
故答案為：（0，0）或（-9，0）或（0，-

1

3

）．

點(diǎn)評：本題主要考查相似三角形的性質(zhì)和勾股定理逆定理，掌握相似三角形的對應(yīng)邊成比例是解題的關(guān)鍵，注意分類討論及方程思想的應(yīng)用．