Question

19．已知：如圖，在平行四邊形ABCD中，AE⊥BC，CF⊥AD，垂足分別為點E，點F．
（1）求證：BE=DF．
（2）求證：四邊形AECF是平行四邊形．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得AB=CD，∠B=∠D，然后利用AAS定理證明△ABE≌△CFD可得BE=DF；
（2）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得AD∥BC，AD=BC，再利用等式的性質(zhì)證明AF=EC，根據(jù)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形可得結(jié)論．

解答 證明（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB=CD，∠B=∠D，
∵AE⊥BC，CF⊥AD，
∴∠AEB=∠CFD=90°，
在△ABE和△CDF中$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠D}\\{∠AEB=∠CFD}\\{AB=CD}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CFD（AAS），
∴BE=DF；

（2）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，AD=BC，
由（1）得：BE=DF，
∴AD-DF=BC-BE，
∴AF=CE，
∵AF∥CE，
∴四邊形AECF是平行四邊形．

點評 此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)和判定，平行四邊形的判定與性質(zhì)的作用：平行四邊形對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等，對角線互相平分及它的判定，是我們證明直線的平行、線段相等、角相等的重要方法．