Question

17．如圖1，已知點(diǎn)A（0，9），B（24，9），C（22+3$\sqrt{3}$，0），半圓P的直徑MN=6$\sqrt{3}$，且P、A重合時(shí)，點(diǎn)M、N在AB上，過(guò)點(diǎn)C的直線(xiàn)l與x軸的夾角α為60°．現(xiàn)點(diǎn)P從A出發(fā)以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向B運(yùn)動(dòng)，與此同時(shí)，半圓P以每秒15°的速度繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，直線(xiàn)l以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿x軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)（與x軸的交點(diǎn)為Q）．當(dāng)P、B重合時(shí)，半圓P與直線(xiàn)l停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．
【發(fā)現(xiàn)】
（1）點(diǎn)N距x軸的最近距離為9-3$\sqrt{3}$，此時(shí)，PA的長(zhǎng)為6；
（2）t=9時(shí)，MN所在直線(xiàn)是否經(jīng)過(guò)原點(diǎn)？請(qǐng)說(shuō)明理由．
（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)P在直線(xiàn)l時(shí)，求直線(xiàn)l分半圓P所成兩部分的面積比．
【拓展】
如圖4，當(dāng)半圓P在直線(xiàn)左側(cè)，且與直線(xiàn)l相切時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
【探究】
求出直線(xiàn)l與半圓P有公共點(diǎn)的時(shí)間有多長(zhǎng)？

Answer 1

分析 發(fā)現(xiàn)：（1）當(dāng)PN∥y軸時(shí)，點(diǎn)N距x軸的最近，根據(jù)已知條件得到PN=$\frac{1}{2}$MN=3$\sqrt{3}$，于是得到點(diǎn)N距x軸的最近距離為9-3$\sqrt{3}$，此時(shí)∠APN=90°，求得t=$\frac{90}{15}$=6，于是得到PA的長(zhǎng)為6；
（2）當(dāng)t=9時(shí)，得到∠APN=180°-9×15°=45°，AP=9×1=9，設(shè)此時(shí)直線(xiàn)MN交y軸于點(diǎn)D，根據(jù)三角函數(shù)的定義得到AD=AP•tan45°=9×1=9，即可得到結(jié)論；
（3）如圖1，當(dāng)點(diǎn)P在直線(xiàn)l上時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作PH⊥x軸，垂足為H，根據(jù)三角函數(shù)的定義得到OQ=3$\sqrt{3}$+t，求得t=11，根據(jù)角的度數(shù)即可得到結(jié)論；
拓展：如圖2，設(shè)直線(xiàn)l與AB交于點(diǎn)E，與半圓P相切于點(diǎn)T，解直角三角形得到PT=3$\sqrt{3}$，AE=AP+PE=t+6，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥x軸，垂足為F，求得OQ=6+3$\sqrt{3}$+t，列方程得到t=8，即可得到結(jié)論；
探究：設(shè)直線(xiàn)l與AB交于點(diǎn)G，與半圓P相切于點(diǎn)R，解直角三角形得到PR=3$\sqrt{3}$，AG=AP-PG=t-6，過(guò)點(diǎn)G作GJ⊥x軸，垂足為J，解方程得到t=14，于是得到結(jié)論．

解答 解：發(fā)現(xiàn)
（1）當(dāng)PN∥y軸時(shí)，點(diǎn)N距x軸的最近，
∵A（0，9），
∴OA=9，
∵M(jìn)N=6$\sqrt{3}$，
∴PN=$\frac{1}{2}$MN=3$\sqrt{3}$，
∴點(diǎn)N距x軸的最近距離為9-3$\sqrt{3}$，
此時(shí)∠APN=90°，
∴t=$\frac{90}{15}$=6，
∴PA的長(zhǎng)為6；
故答案為：9-3$\sqrt{3}$，6；

（2）MN所在直線(xiàn)經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，
理由：當(dāng)t=9時(shí)，∠APN=180°-9×15°=45°，AP=9×1=9，
設(shè)此時(shí)直線(xiàn)MN交y軸于點(diǎn)D，
則AD=AP•tan45°=9×1=9，
又OA=9，
所以點(diǎn)D與點(diǎn)O重合，即MN所在直線(xiàn)經(jīng)過(guò)原點(diǎn)；

（3）如圖1，
當(dāng)點(diǎn)P在直線(xiàn)l上時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作PH⊥x軸，垂足為H，
∴OQ=OH+QH=AP+$\frac{PH}{tan60°}$=t+$\frac{9}{\sqrt{3}}$=3$\sqrt{3}$+t，
∴CQ=t，
∵OQ+CQ=3$\sqrt{3}$+t+t=OC=22+3$\sqrt{3}$，得t=11，
此時(shí)，∠APN=180°-11×15°=15°，
∠NPQ=180°-15°-60°=105°，
∠MPQ=180°-105°=75°，
∴S_左：S_右=105：75=7：5；

拓展
如圖2，設(shè)直線(xiàn)l與AB交于點(diǎn)E，與半圓P相切于點(diǎn)T，
則PT=3$\sqrt{3}$，PE=$\frac{PT}{sin60°}$=$\frac{3\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=6，AE=AP+PE=t+6，
過(guò)點(diǎn)E作EF⊥x軸，垂足為F，
則OQ=OF+FQ=AE+$\frac{EF}{tan60°}$=（t+6）+$\frac{9}{\sqrt{3}}$=6+3$\sqrt{3}$+t，
CQ=t，
由OQ+CQ=6+3$\sqrt{3}$+t+t=OC=22+3$\sqrt{3}$，得t=8，
此時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（8，9）；

探究
當(dāng)半圓P在直線(xiàn)右側(cè)，且與直線(xiàn)l相切時(shí)，如圖3所示，
設(shè)直線(xiàn)l與AB交于點(diǎn)G，與半圓P相切于點(diǎn)R，
則PR=3$\sqrt{3}$，PG=$\frac{PR}{sin60°}$=$\frac{3\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=6，AG=AP-PG=t-6，
過(guò)點(diǎn)G作GJ⊥x軸，垂足為J，
則OQ=OJ+JQ=AG+$\frac{GJ}{tan60°}$=（t-6）+$\frac{9}{\sqrt{3}}$=3$\sqrt{3}$-6+t，
CQ=t，
由OQ+CQ=3$\sqrt{3}$-6+t+t=OC=22+3$\sqrt{3}$，得t=14，
則直線(xiàn)l與半圓P有公共點(diǎn)的時(shí)間為14-8=6秒．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圓的綜合題，圓心角，解直角三角形，平移和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，切線(xiàn)的性質(zhì)，正確的作出輔助線(xiàn)構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．