Question

12．如圖1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，D為AC中點，以點A為直角頂點作△DEF，使E點與A點重合，∠FED=90°，EF=BC，DF與AB交于點點G．
（1）求AG：BG的值；
（2）如圖2，將△EFG沿射線AC方向向右平移至點E與點C重合時停止，設(shè)平移的距離為x，△ABC與△DEF重合部分的面積為y，請求出y與x的函數(shù)關(guān)系式；
（3）如圖3，當(dāng)平移停止時，將△DEF繞點E順時針旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)過程中△ACF與△BCF能否全等？若能，請直接寫出旋轉(zhuǎn)的角度α；若不能，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由FB∥ACD得到△FBG∽△DGA，得到比例式，再由AD=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$FB，即可；
（2）分兩種情況①當(dāng)點D在線段AC上時，即0≤x≤1，根據(jù)△FHG∽△FED，得到的比例式求出HG，②當(dāng)點D在AC延長線上時，即1≤x≤2，根據(jù)△FHG∽△FED，得到比例式求出HG，即可；
（3）分兩種情況計算，在旋轉(zhuǎn)的過程中，要△ACF與△BCF全等，必有∠ACF=∠BCF，即CF是∠ACB的角平分線或角平分線的反向延長線，簡單計算即可．

解答 解：（1）如圖1，

連接FB，則FB∥AC
∴△FBG∽△DGA，
∵D為AC中點，
∴AD=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$FB，
∴$\frac{AG}{BG}=\frac{AD}{FB}$=$\frac{1}{2}$
（2）①當(dāng)點D在線段AC上時，即0≤x≤1，
如圖2，

∵平移的距離AE為x，∠A=45°
∴△AEJ為等腰直角三角形，
∴AE=EJ=x，則FJ=2-x，
∵△FHG∽△FED，
∴$\frac{HG}{ED}=\frac{FH}{FE}$，
∴$\frac{HG}{1}=\frac{2-x-HG}{2}$，
∴HG=$\frac{2-x}{3}$，
∴△FJG的面積為：$\frac{1}{2}$FJ×HG=$\frac{（2-x）^{2}}{6}$
∴y=1-$\frac{1}{2}$FJ×HG=-$\frac{1}{6}$x²+$\frac{2}{3}$x+$\frac{1}{3}$，（0≤x≤1）
②當(dāng)點D在AC延長線上時，即1≤x≤2，
如圖3，

∵△FHG∽△FED，
∴$\frac{HG}{ED}=\frac{FH}{FE}$，
∴$\frac{HG}{1}=\frac{2-x-HG}{2}$，
∴HG=$\frac{2-x}{3}$，
∴△FJG的面積為：$\frac{1}{2}$FJ×HG=$\frac{（2-x）^{2}}{6}$
又∵CD=x-1，△CDI∽△EDF，
∴IC=2CD=2（x-1），
∴△CDI的面積為：$\frac{1}{2}$CD×CI=（x-1）²
∴y=1-$\frac{（2-x）^{2}}{6}$-（x-1）²=-$\frac{7}{6}$x²+$\frac{8}{3}$x-$\frac{2}{3}$  （1≤x≤2）
（3）①如圖1，

∵AC=BC=2，CF=CF，
∵要使△ACF與△BCF全等，
∴必有∠ACF=∠BCF，
∵∠ACB=90°，
∴∠BCF=∠ACF=$\frac{1}{2}$（360°-∠ACB）=$\frac{1}{2}$（360°-90°）=135°，
∴α=∠BCF=135°，
②如圖2，

∵AC=BC=2，CF=CF，
∵要使△ACF與△BCF全等，
∴必有∠ACF=∠BCF，
∵∠ACB=90°，
∴∠BCF=∠ACF=$\frac{1}{2}$∠ACB=45°，
∴α=360°-∠BCF=360°-45°=315°，
當(dāng)旋轉(zhuǎn)角α為135°或315°時，△ACF與△BCF全等．

點評 此題是四邊形綜合題，主要考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)和判定，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵是相似三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，難點是（3）畫出△ACF與△BCF全等的圖形．