Question

3．如圖，在矩形ABCD中，M，N分別是AD，BC的中點，P，Q分別是BM，DN的中點
（1）求證：四邊形BNDM是平行四邊形．
（2）猜想：四邊形MPNQ是哪種特殊的平行四邊形？并證明你的猜想．

Answer 1

分析 （1）因為M，N分別是AD，BC的中點，由矩形的性質(zhì)可得DM=BN，DM∥BN，利用平行四邊形的判定定理可得結(jié)論；
（2）由四邊形DMBN是平行四邊形，求出BM=DN，BM∥DN，求出三角形MPNQ是平行四邊形，根據(jù)直角三角形斜邊上中線性質(zhì)求出MQ=NQ，根據(jù)菱形判定推出即可．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∵M、N分別AD、BC的中點，
∴DM=BN，
∴四邊形DMBN是平行四邊形；

（2）解：四邊形MPNQ是菱形．
∵四邊形DMBN是平行四邊形，
∴BM=DN，BM∥DN，
∵P、Q分別BM、DN的中點，
∴MP=NQ，MP∥NQ，
∴四邊形MPNC是平行四邊形，
連接MN，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∵M、N分別AD、BC的中點，
∴DM=CN，
∴四邊形DMNC是矩形，
∴∠DMN=∠C=90°，
∵Q是DN中點，
∴MQ=NQ，
∴四邊形MPNQ是菱形．

點評 本題考查了平行四邊形的性質(zhì)和判定，菱形的判定，矩形的性質(zhì)，綜合運用各性質(zhì)定理是解答此題的關(guān)鍵．