Question

如圖，直線y=2x+2交x軸于A點，交y軸于B點，過A、B兩點的拋物線交x軸于另一點C（3，0），請解答列問題．
（1）求拋物線的解析式；
（2）設拋物線的頂點為D，若平行于x軸的直線交拋物線于E，F(xiàn)，且EF=6，求△DEF的面積．

Answer 1

考點：拋物線與x軸的交點

專題：綜合題

分析：（1）對于直線y=2x+2，令x=0求出對應的y值，確定出B的坐標，令y=0求出對應x的值，確定出A的坐標，根據拋物線與x軸交點為A和C，由A和C的坐標設出拋物線的二根式解析式y(tǒng)=a（x+1）（x-3）（a≠0），將C的坐標代入求出a的值，即可確定出拋物線的解析式；
（2）根據拋物線解析式求出頂點D坐標，由EF=6，且EF與x軸平行，得到E與F關于對稱軸對稱，得到EG=FG=3，確定出F橫坐標，將F橫坐標代入拋物線解析式求出縱坐標，再由D縱坐標求出DG的長，即可確定出△DEF的面積．

解答：解：（1）對于直線y=2x+2，
令x=0，求出y=2，令y=0，求出x=-1，
∴A（-1，0），B（0，2），
又∵C（3，0），
設拋物線的解析式為y=a（x+1）（x-3）（a≠0），
將B（0，2）代入上式得：2=-3a，
解得：a=-

2

3

，
∴y=-

2

3

（x+1）（x-3）=-

2

3

x²+

4

3

x+2，即y=-

2

3

x²+

4

3

x+2；

（2）由拋物線y=-

2

3

x²+

4

3

x+2得到頂點D（1，

8

3

），
∵EF=6，且EF∥x軸，即EF關于對稱軸DG對稱，
∴EG=FG=3，即F橫坐標為4，
將x=4代入得：y=-

2

3

x²+

4

3

x+2=-

32

3

+

16

3

+2=-

10

3

，
∴DG=6+

10

3

=

28

3

，
則S_△DEF=

1

2

EF•DG=28．

點評：此題考查了拋物線與x軸的交點，涉及的知識有：坐標與圖形性質，二次函數(shù)的圖象與性質，熟練掌握二次函數(shù)的性質是解本題的關鍵．