Question

16．如圖，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，點(diǎn)F是AB的中點(diǎn)，E為BC邊上一點(diǎn)，且EF⊥ED，連結(jié)DF，M為DF的中點(diǎn)，連結(jié)MA，ME．若AM⊥ME，則AE的長(zhǎng)為（　�。�

• A． 5
• B． $2\sqrt{5}$
• C． $2\sqrt{10}$
• D． $4\sqrt{2}$

Answer 1

分析 設(shè)BE=x，則EC=6-x，由△EBF∽△DCE，得$\frac{BF}{EC}$=$\frac{BE}{DC}$，列出方程求出x，即可解決問(wèn)題．

解答 解：設(shè)BE=x，則EC=6-x，
∵EF⊥ED，
∴∠FED=90°，
∴∠FEB+∠DEC=90°，
∵∠DEC+∠EDC=90°，
∴∠FEB=∠EDC，∵∠B=∠C=90°，
∴△EBF∽△DCE，
∴$\frac{BF}{EC}$=$\frac{BE}{DC}$，
∴$\frac{2}{6-x}$=$\frac{x}{4}$，解得x=2或4（舍棄），
當(dāng)x=2時(shí)，EF=2$\sqrt{2}$，DE=4$\sqrt{2}$，DF=$\sqrt{E{F}^{2}+D{E}^{2}}$=2$\sqrt{10}$，
∴AM=ME=$\sqrt{10}$，
∵AM⊥ME，
∴∠AME=90°，
∴AE=$\sqrt{A{M}^{2}+M{E}^{2}}$=$\sqrt{20}$=2$\sqrt{5}$，
故選B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用這些知識(shí)解決問(wèn)題，屬于中考�？碱}型．