Question

4．知者加速：
（1）如圖所示是一個圓柱形飲料罐，底面半徑是5，高是12，上底面中心有一個小圓孔，則一條到達底部的直吸管在罐內(nèi)部分a的長度（罐壁厚度和小圓孔大小忽略不計）范圍是12≤a≤13；
（2）觀察下列各式，你有什么發(fā)現(xiàn)？
3²=4+5，5²=12+13，7²=24+25，9²=40+41，…
這到底是巧合，還是有什么規(guī)律蘊涵其中呢？請你結(jié)合有關(guān)知識進行研究．若13²=a+b，則a，b的值可能是多少．

Answer 1

分析 （1）構(gòu)建以5、12為直角邊的直角三角形，根據(jù)勾股定理即可求出斜邊的長度，從而得出a的取值范圍；
（2）觀察給定等式，根據(jù)等式數(shù)字的變化找出變化規(guī)律“（2n+1）²=（2n²+2n）+（2n²+2n+1）（n為正整數(shù)）”，依此規(guī)律即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）構(gòu)建直角三角形，如圖所示．
其中AC=12，BC=5，
由勾股定理可得：AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=13．
∴a的取值范圍為：12≤a≤13．
故答案為：12≤a≤13．
（2）不是巧合，這些等式中蘊涵著規(guī)律．
觀察，發(fā)現(xiàn)規(guī)律：3²=4+5，5²=12+13，7²=24+25，9²=40+41，…，
等式的左邊=（2n+1）²=4n²+4n+1=（2n²+2n）+（2n²+2n+1）=等式右邊，
∴存在規(guī)律：（2n+1）²=（2n²+2n）+（2n²+2n+1）（n為正整數(shù)）．
當(dāng)n=6時，13²=（2×6²+2×6）+（2×6²+2×6+1）=84+85，
∴a=84，b=85．

點評 本題考查了勾股定理的應(yīng)用以及規(guī)律型中數(shù)字的變化類，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)勾股定理求出斜邊的長度；（2）找出變化規(guī)律“（2n+1）²=（2n²+2n）+（2n²+2n+1）（n為正整數(shù)）”．本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大，解決該題型題目時，根據(jù)數(shù)字的變化找出變化規(guī)律是關(guān)鍵．