Question

18．如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°．直角∠EPF的頂點P是BC中點，PE、PF分別交AB、AC于點E、F．給出以下四個結(jié)論：①AE=CF；②△EPF是等腰直角三角形；③S_{四邊形AEPF}=$\frac{1}{2}$S_△ABC；④EF=AP．當(dāng)∠EPF在△ABC內(nèi)繞頂點P旋轉(zhuǎn)時（點E不與A、B重合），上述結(jié)論中始終正確的有 （　�。�

• A． 1個
• B． 2個
• C． 3個
• D． 4個

Answer 1

分析 由等腰直角三角形的性質(zhì)可得∠B=∠C=45°，AP=BP=CP，∠BAP=∠CAP=45°，AP⊥BC，
由直角三角形的兩個銳角互余，可得∠EPA=∠FPC，所以△EPA≌△FPC，所以①②③都得到證明．
當(dāng)EF是三角形ABC的中位線時，才有EF=AP．

解答 解：∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠B=∠C=45°，
∵P為邊BC的中點，
∴AP=BP=CP，∠BAP=∠CAP=45°，AP⊥BC，
∴∠EAP=∠C，
又∵∠EPA+∠APF=90°，∠FPC+∠APF=90°，
∴∠EPA=∠FPC，
在△EPA和△FPC中
$\left\{\begin{array}{l}{∠EAP=∠C}\\{AP=PC}\\{∠EPA=FPC}\end{array}\right.$
∴△EPA≌△FPC（ASA），
∴AE=CF，EP=FP，所以①正確；
∴△EPF是等腰直角三角形，所以②正確；
∵四邊形AEPF的面積等于△APC的面積，
∴2S_{四邊形AEPF}=S_△ABC，所以③正確；
又∵EF=$\frac{PF}{2}$，
而只有F點為AC的中點時，AP=$\frac{PF}{2}$
即點F為AC的中點時有EF=AP，所以④不一定正確．
所以當(dāng)∠EPF在ABC內(nèi)繞頂點P旋轉(zhuǎn)時（點E不與A、B重合），上述結(jié)論中始終正確的有①②③，共3個．
故選C．

點評 本題考查了三角形全等的證明、直角等腰三角形的性質(zhì)、以及三角形的中位線定理．解決本題的關(guān)鍵是利用直角三角形的性質(zhì)，說明△EPA≌△FPC．