Question

19．如圖，在△ABC中，D為BC中點(diǎn)，DE⊥BC交∠BAC的平分線AE于E，EF⊥AB于F，EG⊥AC交AC的延長線于G，
（1）求證：BF=CG；
（2）若AB=7，AC=3，求AF的長．

Answer 1

分析 （1）連接EB、EC，只要證明Rt△BEF≌Rt△CEG，即可得到BF=CG．
（2）由RT△AEF≌RT△AEG得AF=AG，再由Rt△BFE≌Rt△CGE得BF=CG，易知AB+AC=2AF由此即可解決問題．

解答 （1）證明：如圖，連接BE、EC，
∵ED⊥BC，
D為BC中點(diǎn)，
∴BE=EC，
∵EF⊥AB EG⊥AG，且AE平分∠FAG，
∴FE=EG，
在Rt△BFE和Rt△CGE中，
$\left\{\begin{array}{l}{BE=CE}\\{EF=EG}\end{array}\right.$，
∴Rt△BFE≌Rt△CGE（HL），
∴BF=CG．
（2）解：在RT△AEF和RT△AEG中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AE}\\{EF=EG}\end{array}\right.$，
∴RT△AEF≌RT△AEG（HL），
∴AF=AG，
∵Rt△BFE≌Rt△CGE（HL），
∴BF=CG，
∴AB+AC=AF+BF+AG-CG=2AF，
∴2AF=10，
∴AF=5．

點(diǎn)評 本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、相等垂直平分線的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形，記住這個圖形基本結(jié)論AB+AC=2AF，屬于中考�？碱}型．