Question

7．如圖1，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，BC=m，AD=n，動點P從點B出發(fā)依次沿線段BA，AD，DC向點C移動，設(shè)移動路程為z，△BPC的面積S隨著z的變化而變化的圖象如圖2所示，m，n是常數(shù)．
（1）寫出線段AB和AD的長度．
（2）求m的值．
（3）當(dāng)△APD是等腰三角形時，求s的值．

Answer 1

分析 （1）由點E的橫坐標(biāo)為2，可得AB=2，由點F的橫坐標(biāo)為3，可得AD=3-2=1；
（2）過D作DG⊥BC于G，則DG=AB=2，由圖2可得，CD=7-3=4，在Rt△CDG中，根據(jù)勾股定理可得CG的長，進而得到BC=1+2$\sqrt{3}$，即m的值為1+2$\sqrt{3}$；
（3）分三種情況：①當(dāng)點P在AB上時，若AP=AD=1，則△ADP是等腰三角形；②當(dāng)點P在AD上時，△ADP不存在；③當(dāng)點P在CD上時，若DP=DA=1，則△ADP是等腰三角形，分別根據(jù)點P的位置，運用三角形面積計算公式求得S的值．

解答 解：（1）由圖可得，當(dāng)點P在BA上移動時，△BPC的面積S隨著z的增加而增加，
當(dāng)點P與點A重合時，△BPC的面積最大，由點E的橫坐標(biāo)為2，可得AB=2，
當(dāng)點P在AD上移動時，△BPC的面積不變，由點F的橫坐標(biāo)為3，可得AD=3-2=1，
故AB的長為2，AD的長為1；

（2）如圖1，過D作DG⊥BC于G，則DG=AB=2，

由圖2可得，CD=7-3=4，
∴Rt△CDG中，CG=$\sqrt{C{D}^{2}-D{G}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}-{2}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
又∵BG=AD=1，
∴BC=1+2$\sqrt{3}$，
即m的值為1+2$\sqrt{3}$；

（3）分三種情況：
①當(dāng)點P在AB上時，若AP=AD=1，則△ADP是等腰三角形，
此時，BP=2-1=1，
∴S=$\frac{1}{2}$BC×BP=$\frac{1}{2}$（1+2$\sqrt{3}$）×1=$\frac{1}{2}$+$\sqrt{3}$；
②當(dāng)點P在AD上時，△ADP不存在；
③當(dāng)點P在CD上時，若DP=DA=1，則△ADP是等腰三角形，
如圖所示，過P作PG⊥BC于G，交AD的延長線于H，則矩形ABGH中，HG=AB=2，

∵AH∥BC，
∴△DPH∽△CPG，
∴$\frac{DP}{PC}$=$\frac{HP}{PG}$，即$\frac{1}{3}$=$\frac{2-GP}{GP}$，
解得GP=$\frac{3}{2}$，
∴S=$\frac{1}{2}$BC×GP=$\frac{1}{2}$（1+2$\sqrt{3}$）×$\frac{3}{2}$=$\frac{3}{4}$+$\frac{3}{2}$$\sqrt{3}$．

點評 本題屬于四邊形綜合題，主要考查了直角梯形，矩形的性質(zhì)，勾股定理以及相似三角形的運用，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造矩形，運用分類思想進行求解，解題時注意：矩形的對邊相等，相似三角形的對應(yīng)邊成比例．