Question

11．如圖①，已知A（a，0），B（0，b），且a，b滿足a²-8a+b²-8b=-32．
（1）求A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）若點(diǎn)C在第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，且∠OCB=45°，過(guò)A作AD⊥OC于D點(diǎn)，求證：AD=CD；
（3）如圖②，若已知E（1，0），連接BE，過(guò)B作BF⊥BE且BF=BE，連接AF交y軸于G點(diǎn)，求G點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）由已知得（a-4）²+（b-4）²=0，根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)即可解決問(wèn)題．
（2）由O、A、C、B四點(diǎn)共圓得∠AOB+∠BCA=180°，得∠BCA=90°由此解決問(wèn)題．
（3）先證明△BFM≌△EBO，求出BM、OM，再證明△FMG≌△AOG即可解決問(wèn)題．

解答 （1）解：∵a²-8a+b²-8b=-32，
∴（a²-8a+16）+（b²-8b+16）=0，
∴（a-4）²+（b-4）²=0，
∵（a-4）²≥0，（b-4）²≥0，
∴a=b=4，
∴點(diǎn)A坐標(biāo)為（4，0），點(diǎn)B坐標(biāo)為（0，4）．
（2）證明：∵點(diǎn)A坐標(biāo)為（4，0），點(diǎn)B坐標(biāo)為（0，4），
∴OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA=45°，
∵∠BCO=45°，
∴∠BCO=∠BAO，
∴O、A、C、B四點(diǎn)共圓，
∴∠AOB+∠BCA=180°，
∵∠AOB=90°，
∴∠BCA=90°，
∴∠DCA=90°-∠BCA=45°，
∵AD⊥CD，
∴∠ADC=90°，∠DCA=∠DAC=45°，
∴DC=DA．
（3）解：作FM⊥OB于M，
∵∠FBM+∠OBE=90°，∠OBE+∠OEB=90°，
∴∠FBM=∠BEO，
在△FBM和△BEO中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FBM=∠BEO}\\{∠FMB=∠BOE=90°}\\{BF=BE}\end{array}\right.$，
∴△BFM≌△EBO，
∴FM=BO=AO，BM=OE=1，OM=3，
∵FM∥AO，
∴∠FMG=∠AOG，
在△FMG和△AOG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FMG=∠AOG=90°}\\{∠FGM=∠AGO}\\{FM=AO}\end{array}\right.$，
∴△FMG≌△AOG，
∴MG=OG=$\frac{1}{2}$OM=$\frac{3}{2}$，
∴點(diǎn)M坐標(biāo)（0，$\frac{3}{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、四點(diǎn)共圓、坐標(biāo)與圖形、非負(fù)數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)，第一個(gè)問(wèn)題的關(guān)鍵是非負(fù)數(shù)性質(zhì)的利用，第二個(gè)問(wèn)題的關(guān)鍵是四點(diǎn)共圓，利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)解決問(wèn)題，第三個(gè)問(wèn)題通過(guò)全等三角形解決問(wèn)題，屬于中考�？碱}型．