Question

6．如圖，AB是⊙O的直徑，點D、E在⊙O上，連接AE、ED、DA，連接BD并延長至點C，使得∠DAC=∠AED．
（1）求證：AC是⊙O的切線；
（2）若點E是$\widehat{BD}$的中點，AE與BC交于點F，
①求證：CA=CF；
②當BD=5，CD=4時，DF=2．

Answer 1

分析 （1）欲證明AC是⊙O的切線，只需證得AB⊥AC即可；
（2）由圓周角、弧、弦間的關(guān)系即可推出CA=CF；
（3）通過相似三角形（△ADC∽△BAC）的對應(yīng)邊成比例求得AC=6．得出CA=CF=6，故DF=CA-CD=2．

解答 （1）證明：∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°．
∴∠ABC+∠DAB=90°．
∵∠DAC=∠AED，∠AED=∠ABC，
∴∠DAC+∠DAB=90°，
∴AC是⊙O的切線．（3分）
（2）①證明：∵點E是$\widehat{BD}$的中點，
∴$\widehat{BE}$=$\widehat{DE}$，
∴∠BAE=∠DAE．
∵∠DAC+∠DAB=90°，∠ABC+∠DAB=90°，
∴∠DAC=∠ABC．
∵∠CFA=∠ABC+∠BAE，∠CAF=∠DAC+∠DAE，
∴∠CFA=∠CAF．
∴CA=CF．
②解：∵∠BAC=∠ADB=90°，
∴∠ACD=∠BCA，
∴△ADC∽△BAC．
∴$\frac{AC}{BC}$=$\frac{CD}{AC}$．即AC²=BC×CD=（5+4）×4=36．
解得AC=6．
∴CA=CF=6，
∴DF=CA-CD=2．
故答案為2．

點評 本題考查了切線的判定、相似三角形的判定與性質(zhì)．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．