Question

17．若以圓內(nèi)接四邊形ABCD的各邊為弦作任意圓，求證：這些圓相交的四點(diǎn)共圓．

Answer 1

分析 連接BP、DR，并延長BP、DR，由圓內(nèi)接四邊形的外角等于內(nèi)對角，得出∠EPS=∠SAB，∠EPQ=∠QCB，∠FRQ=∠QCD，∠FRS=∠SAD，證出∠SPQ+∠SRQ=∠BAD+∠BCD，由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得出∠BAD+∠BCD=180°，得出∠SPQ+∠SRQ=180°，即可得出結(jié)論．

解答 證明：連接BP、DR，并延長BP、DR，如圖所示：
∵圓內(nèi)接四邊形的外角等于內(nèi)對角，
∴∠EPS=∠SAB，∠EPQ=∠QCB，∠FRQ=∠QCD，∠FRS=∠SAD，
∴∠EPS+∠EPQ+∠FRQ+∠FRS=∠SAB+∠QCB+∠QCD+∠SAD=∠BAD+∠BCD，
∴∠SPQ+∠SRQ=∠BAD+∠BCD，
∵四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，
∴∠BAD+∠BCD=180°，
∴∠SPQ+∠SRQ=180°，
∴S、P、Q、R四點(diǎn)共圓．

點(diǎn)評 本題是四點(diǎn)共圓的綜合題目，考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、四點(diǎn)共圓的判定方法；熟練掌握圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，證明四邊形PQRS的對角互補(bǔ)是解決問題的關(guān)鍵．