Question

7．如圖，AB為⊙O的直徑，AB=2，點在M在QO上，MC垂直平分OA，點N為直線AB上一動點（N不與A重合），若△MNP∽△MAC，PC與直線AB所夾銳角為α．
（1）若AM=AC，點N與點O重合，則α=30°；
（2）若點C、點N的位置如圖所示，求α的度數(shù)；
（3）當直線PC與⊙O相切時，則MC的長為$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)AM=AC，MC垂直平分AO，OM=OA，可以求得△MAO的形狀，然后根據(jù)點C在圓O上，AP是圓O的直徑，從而可以求得α的值；
（2）根據(jù)AM=AC，MC垂直平分AO，OM=OA，可以求得△MAO的形狀，△MNP∽△MAC，從而可以求得∠AMC和α的值，從而可以求得α的值；
（3）根據(jù)題意和圖形，以及（2）中α的值，直線PC與⊙O相切．可以分別求得MD、DC的長，從而可以求得MC的長．

解答 解：（1）如右圖一所示，
∵AM=AC，MC垂直平分AO，OM=OA，
∴MA=AC=MO=OA，
∵點M在圓O上，
∴點C在圓O上，
∵AP是圓O的直徑，
∴∠ACP=90°，
∵AP=2AC，
∴∠APC=30°，
即α=30°，
故答案為：30；
（2）連接MO，如右圖二所示，
∵MC垂直平分AO，MO=AO，
∴MA=MO=AO，
∴∠MAO=60°，
∵△MNP∽△MAC，
∴$\frac{MA}{MN}=\frac{MC}{MP}$，∠AMC=∠NMP，
∴∠AMN=∠CMP，
∴△AMN∽△CMP，
∴∠MAN=∠MCP，
∵∠MAN=60°，
∴∠MCP=60°，
又∵∠CDB=90°，
∴α=90°-60°=30°；
（3）連接OE，如右圖三所示，
∵AB=2，MC垂直平分AO，
∴AO=1，DO=$\frac{1}{2}$，MD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
由（2）可得，α=30°，
∵OE=1，∠OEF=90°，
∴OF=2OE=2，
∴DF=$\frac{5}{2}$，
∴DC=DF•tanα=$\frac{5}{2}×\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{5\sqrt{3}}{6}$，
∴MC=MD+DC=$\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{5\sqrt{3}}{6}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
故答案為：$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查圓的綜合題，解題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答問題．