Question

9．如圖，AB與⊙O相切于點(diǎn)A，AC為⊙O的直徑，且AC=6，CD∥BO，CD交⊙O于D，連接BD．
（1）求證：BD與⊙O相切；
（2）若BO+CD=11，求AB的長．

Answer 1

分析 （1）欲證明BD與⊙O相切，只要證明∠BDO=∠BAO=90°，可以通過證明△BOA≌△BOD即可證明．
（2）連接AD，設(shè)CD=a，BO=b，想辦法列出方程組，最后在RT△AOB中利用勾股定理解決．

解答 （1）證明：連接OD．
∵AB是⊙O切線，
∴∠BAO=90°，
∵CD∥OB，
∴∠AOB=∠C，∠ODC=∠BOD，
∵OD=OC，
∴∠C=∠ODC，
∴∠BOA=∠BOD，
在△BOD和△BOA中，
$\left\{\begin{array}{l}{BO=BO}\\{∠BOA=∠BOD}\\{OA=OD}\end{array}\right.$，
∴△BOA≌△BOD，
∴∠BDO=∠BAO=90°，
∴OD⊥BD，
∴BD是⊙O的切線．
（2）連接AD，設(shè)CD=a，BO=b，
∵AC是直徑，
∴∠ADC=∠BA0=90°，
∵∠AOB=∠C，
∴△OAB∽△CDA，
∴$\frac{OA}{CD}$=$\frac{OB}{AC}$，
∴$\frac{3}{a}$=$\frac{6}$，
∴ab=18，又a+b=11，
∴a=2，b=9或a=9，b=2（舍棄），
∴CD=2，OB=9，
在RT△AOB中，∵∠OAB=90°，OB=9，OA=3，
∴AB=$\sqrt{O{B}^{2}-O{A}^{2}}$=$\sqrt{{9}^{2}-{3}^{2}}$=6$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查切線的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形，學(xué)會(huì)轉(zhuǎn)化的思想，把問題轉(zhuǎn)化為方程組解決，屬于中考�？碱}型．