Question

17．已知二次函數(shù)y=x²+3x-4的圖象與y軸的交點(diǎn)為C，與x軸正半軸的交點(diǎn)為A，在拋物線上存在實(shí)數(shù)x₁、x₂（x₁＜x₂），當(dāng)x₁≤x≤x₂時，y的取值范圍為$\frac{12}{{x}_{2}}$≤y≤$\frac{12}{{x}_{1}}$，則x₁+x₂=-5．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，分3種情況：①當(dāng)x₁≤x₂≤-$\frac{3}{2}$時；②當(dāng)x₁≤-$\frac{3}{2}$≤x₂時；③當(dāng)-$\frac{3}{2}$＜x₁≤x₂時；然后根據(jù)二次函數(shù)的最值的求法，求出滿足題意的實(shí)數(shù)x₁、x₂（x₁＜x₂），使得當(dāng)x₁≤x≤x₂時，y的取值范圍為$\frac{12}{{x}_{2}}$≤y≤$\frac{12}{{x}_{1}}$即可．

解答 解：①當(dāng)x₁≤x₂≤-$\frac{3}{2}$時，二次函數(shù)y=x²+3x-4單調(diào)遞減，
∵y的取值范圍為$\frac{12}{{x}_{2}}$≤y≤$\frac{12}{{x}_{1}}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{{x}_{1}}^{2}+3{x}_{1}-4=\frac{12}{{x}_{1}}}\\{{{x}_{2}}^{2}+3{x}_{2}-4=\frac{12}{{x}_{2}}}\end{array}\right.$，
由x${{\;}_{1}}^{2}$+3x₁-4=$\frac{12}{{x}_{1}}$，
解得x₁=-3，-2，2，
由x${{\;}_{2}}^{2}$+3x₂-4=$\frac{12}{{x}_{2}}$，
解得x₂=-3，-2，2，
∵x₁≤x₂≤-$\frac{3}{2}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=-3}\\{{x}_{2}=-2}\end{array}\right.$

②當(dāng)x₁≤-$\frac{3}{2}$≤x₂時，
Ⅰ、當(dāng)-$\frac{3}{2}$-x₁≥x₂-（-$\frac{3}{2}$）時，
可得x₁+x₂≤-3，
∵y的取值范圍為$\frac{12}{{x}_{2}}$≤y≤$\frac{12}{{x}_{1}}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{4×1×（-4）-{3}^{2}}{4×1}=\frac{12}{{x}_{2}}①}\\{{{x}_{1}}^{2}+3{x}_{1}-4=\frac{12}{{x}_{1}}②}\end{array}\right.$，
由①，可得x₂=-$\frac{48}{25}$，
由（2），可得x₁=-3，-2，2，
∵x₁≤-$\frac{3}{2}$＜x₂，-$\frac{3}{2}$＞-$\frac{48}{25}$，
∴沒有滿足題意的x₁、x₂．
Ⅱ、當(dāng)-$\frac{3}{2}$-x₁＜x₂-（-$\frac{3}{2}$）時，
可得x₁+x₂＞-3，
∵y的取值范圍為$\frac{12}{{x}_{2}}$≤y≤$\frac{12}{{x}_{1}}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{4×4×（-4）-{3}^{2}}{4×1}=\frac{12}{{x}_{2}}}\\{{{x}_{2}}^{2}+3{x}_{2}-4=\frac{12}{{x}_{1}}}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=-\frac{1875}{949}}\\{{x}_{2}=-\frac{48}{25}}\end{array}\right.$
∵x₁+x₂=-$\frac{1875}{949}$≈-1.98-1.92=-3.9＜-3，
∴沒有滿足題意的x₁、x₂．

③當(dāng)-$\frac{3}{2}$＜x₁≤x₂時，
二次函數(shù)y=x²+3x-4單調(diào)遞增，
∵y的取值范圍為$\frac{12}{{x}_{2}}$≤y≤$\frac{12}{{x}_{1}}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{{x}_{1}}^{2}+3{x}_{1}-4=\frac{12}{{x}_{2}}①}\\{{{x}_{2}}^{2}+3{x}_{2}-4=\frac{12}{{x}_{1}}②}\end{array}\right.$，
（1）×x₂-（2）×x₁，可得
（x₁-x₂）（x₁x₂+4）=0，
∵x₁-x₂≠0，
∴x₁x₂+4=0，
∴x₂=-$\frac{4}{{x}_{1}}$…（1），
把（3）代入（1），可得x₁=-3±$\sqrt{13}$，
∵x₁＞-$\frac{3}{2}$，
∴x₁=$\sqrt{13}$，
∴x₂=$\frac{-4}{{x}_{1}}$，
∵-$\sqrt{13}$-3＜-$\frac{3}{2}$，
∴沒有滿足題意的x₁、x₂．
綜上，可得
x₁=-3，x₂=-2時，當(dāng)x₁≤x≤x₂時，y的取值范圍為$\frac{12}{{x}_{2}}$≤y≤$\frac{12}{{x}_{1}}$．
∴x₁+x₂=-5，
故答案為：-5．

點(diǎn)評 此題主要考查了二次函數(shù)綜合題，考查了分析推理能力，考查了分類討論思想的應(yīng)用，考查了從已知函數(shù)圖象中獲取信息，并能利用獲取的信息解答相應(yīng)的問題的能力，此題還考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式的方法，以及二次函數(shù)的最值的求法，要熟練掌握．