Question

2．在圖1--圖4中，菱形ABCD的邊長為3，∠A=60°，點M是AD邊上一點，且DM=$\frac{1}{3}$AD，點N是折線AB-BC上的一個動點．

（1）如圖1，當N在BC邊上，且MN過對角線AC與BD的交點時，則線段AN的長度為$\sqrt{13}$．
（2）當點N在AB邊上時，將△AMN沿MN翻折得到
△A′MN，如圖2，
①若點A′落在AB邊上，則線段AN的長度為1；
②當點A′落在對角線AC上時，如圖3，求證：四邊形AM A′N是菱形；
③當點A′落在對角線BD上時，如圖4，求$\frac{A′B}{A′N}$的值．

Answer 1

分析 （1）作NH⊥AB交AB的延長線于H，根據(jù)題意求出DM、AM，根據(jù)菱形的中心對稱圖形得到BN=DM=1，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出BH、NH，根據(jù)勾股定理計算；
（2）①根據(jù)直角三角形的性質(zhì)計算；
②根據(jù)翻轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)、菱形的判定定理進行證明；
③證明△A′DM∽△NBA′，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)計算即可．

解答 解：（1）作NH⊥AB交AB的延長線于H，
∵AD=3，
∴DM=$\frac{1}{3}$AD=1，AM=2，
∵菱形的中心對稱圖形，MN過對角線AC與BD的交點，
∴BN=DM=1，
∵∠DAB=60°，
∴∠NBH=60°，
∴BH=$\frac{1}{2}$BN=$\frac{1}{2}$，NH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$BN=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴AN=$\sqrt{A{H}^{2}+N{H}^{2}}$=$\sqrt{13}$，
故答案為：$\sqrt{13}$；

（2）①∵點A′落在AB邊上，
∴MN⊥AA′，
∴AN=$\frac{1}{2}$AM=1，
故答案為：1；
②在菱形ABCD中，∠A=60°，
∴∠DAC=∠BAC=30°，
∵點A′落在對角線AC上，
∴MN⊥AC，
∴∠AMN=∠ANM=60°，
∴AM=AN，
由折疊的性質(zhì)可知，AM=AN=A′M=A′N，
∴四邊形AM A′N是菱形；
③∠A′=∠A=60°，
∴∠BA′N+∠DA′M=120°，又∠DMA′+∠DA′M=120°，
∴∠BA′N=∠DMA′，又∠A′DM=∠NBA′，
∴△A′DM∽△NBA′，
∴$\frac{A′B}{A′N}$=$\frac{DM}{MA′}$=$\frac{DM}{MA}$=2．

點評 本題考查的是菱形的判定和性質(zhì)、翻轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)以及相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握翻轉(zhuǎn)變換的是一種軸對稱、翻折前后的對應邊相等、對應角相等是解題的關鍵．