Question

4．如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象經(jīng)過矩形OABC的頂點A，B，與x軸交于點E，F(xiàn)，且B，E兩點的坐標分別為B（2，$\frac{3}{2}$），E（-1，0）．
（1）求二次函數(shù)的解析式；
（2）若直線BE與拋物線的對稱軸交點為P，M是線段CB上的一個動點（點M與點B，C不重合），過點M作MN∥BE交x軸于點N，連接PM，PN，設CM的長為t，△PMN的面積為S，求S與t的函數(shù)關系式，并求出S的最大值；
（3）在拋物線上是否存在點Q，使△QBF為直角三角形？若存在，請直接寫出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)矩形性質(zhì)確定點A坐標，再把拋物線經(jīng)過的三個點坐標代入求解即可；
（2）先求出直線BE，MN的解析式，再求出與拋物線對稱軸的交點P，G，表示出線段PG的長度，根據(jù)三角形面積公式列出二次函數(shù)即可求最值；
（3）根據(jù)垂直設出直線解析式并求出解析式，聯(lián)立拋物線即可求出點Q的坐標．

解答 解：（1）
由矩形性質(zhì)可知，OA=BC=$\frac{3}{2}$，點A（0，$\frac{3}{2}$），
二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象經(jīng)過A，B（2，$\frac{3}{2}$），E（-1，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3}{2}=c}\\{\frac{3}{2}=4a+2b+c}\\{0=a-b+c}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{b=1}\\{c=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，

∴拋物線的解析式為：y=-$\frac{1}{2}{x}^{2}+x+\frac{3}{2}$；
（2）如圖1

由拋物線的解析式為：y=-$\frac{1}{2}{x}^{2}+x+\frac{3}{2}$可求其對稱軸為：x=1，
令MN與拋物線對稱軸的交點為G，
設直線BE的解析式為：y=mx+n，
把點B，E坐標代入得：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3}{2}=2m+n}\\{0=-m+n}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{1}{2}}\\{n=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
所以直線BE的解析式為：y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{2}$，
當x=1時，y=1，
∴點P（1，1），
∵MN∥BE，
可設直線MN的解析式為：y=$\frac{1}{2}$x+q，
把點M（2，t）代入，解得：q=t-1，
∴直線MN的解析式為：y=$\frac{1}{2}$x+t-1，
當y=0時，解得x=2-2t，
∴點N（2-2t，0），
當x=1時，y=t-$\frac{1}{2}$，
∴點G（1，t-$\frac{1}{2}$），
∴PG=1-（t-$\frac{1}{2}$）=-t+$\frac{3}{2}$，
∴S_△PMN=$\frac{1}{2}$×PG×（x_M-x_N）=$\frac{1}{2}$×（-t+$\frac{3}{2}$）×[2-（2-2t）]=-${t}^{2}+\frac{3}{2}t$，
∴當x=$\frac{3}{4}$時，S_△PMN有最大值為$\frac{9}{16}$；
（3）
當∠QBF=90°時，如圖2

∵BQ⊥BF，直線BF解析式為y=-$\frac{3}{2}$x+$\frac{9}{2}$，
∴設BQ的解析式為：y=$\frac{2}{3}$x+f，
把點B（2，$\frac{3}{2}$）代入，解得，f=$\frac{1}{6}$，
∴直線BQ：y=$\frac{2}{3}$x+$\frac{1}{6}$，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{2}{3}x+\frac{1}{6}}\\{y=-\frac{1}{2}{x}^{2}+x+\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
解得：x=$-\frac{4}{3}$或x=2（舍去），
此時y=$-\frac{13}{18}$，
∴此時Q（$-\frac{4}{3}$，$-\frac{13}{18}$），
當∠BFQ=90°時，如圖3

因為FQ⊥BF，
所以設直線FQ的解析式為：y=$\frac{2}{3}$x+e，
把點F（3，0）代入，解得，e=-2，
∴直線FQ的解析式為：y=$\frac{2}{3}$x-2，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{2}{3}x-2}\\{y=-\frac{1}{2}x+x+\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
解得：x=$-\frac{7}{3}$，或x=3（舍去），
此時y=$-\frac{32}{9}$，
所以此時Q（$-\frac{7}{3}$，$-\frac{32}{9}$），
當∠BQF=90°時，由圖象可知，不存在．
綜上所述，△QBF為直角三角形時，點Q的坐標為：（$-\frac{4}{3}$，$-\frac{13}{18}$），（$-\frac{7}{3}$，$-\frac{32}{9}$）．

點評 此題主要考查二次函數(shù)的綜合問題，會根據(jù)點求拋物線和直線的解析式，會運用變量表示三角形面積并解決最值問題，會根據(jù)直角分析點的坐標的存在性是解題的關鍵．