Question

9．已知正方形ABCD中，以CD為邊作等邊三角形CED，連接BE與對角線AC交于點F，求證：EF=BF+CF．

Answer 1

分析 作∠ECM=45°，CM交EF于M，根據(jù)正方形的性質(zhì)得出∠BCF=∠ACD=45°=∠ECM，BC=CD，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出∠DCE=60°，CE=CD，求出∠FCM=60°，∠CBF=∠CEM，根據(jù)ASA推出△CBF≌△CEM，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出BF=EM，CM=CF，求出CF=FM即可．

解答 證明：作∠ECM=45°，CM交EF于M，

∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠BCF=∠ACD=45°=∠ECM，BC=CD，
∵△CDE是等邊三角形，
∴∠DCE=60°，CE=CD，
∴∠DCM=60°-45°=15°，BC=CE，
∴∠FCM=45°+15°=60°，∠CBF=∠CEM，
在△CBF和△CEM中
$\left\{\begin{array}{l}{∠BCF=∠ECM}\\{BC=CE}\\{∠CBF=∠CEM}\end{array}\right.$
∴△CBF≌△CEM（ASA），
∴BF=EM，CM=CF，
∵∠FCM=60°，
∴△FCM是等邊三角形，
∴CF=FM，
∴EF=EM+FM=BF+CF．

點評 本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，等邊三角形的性質(zhì)和判定，正方形的性質(zhì)的應(yīng)用，能正確作出輔助線是解此題的關(guān)鍵．