Question

4．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，把橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)叫做整點(diǎn)．已知直線y=-kx+4k（k為正整數(shù)）與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，記△AOB內(nèi)部（不包括邊界）的整點(diǎn)個(gè)數(shù)為m．①當(dāng)k=2時(shí)，m=9；②當(dāng)m=2013時(shí)，k=336．

Answer 1

分析 ①根據(jù)題意得出網(wǎng)格點(diǎn)橫向一共7行，豎向一共是3列，所以在（4，7）點(diǎn)形成的矩形內(nèi)部一共有7×3=21個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)，進(jìn)而得出矩形內(nèi)部網(wǎng)格點(diǎn)個(gè)數(shù)規(guī)律．
②根據(jù)題意得出網(wǎng)格點(diǎn)橫向一共（4k-1）行，豎向一共是3列，所以在點(diǎn)（4，4k）形成的矩形內(nèi)部一共有3（4k-1）個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)，進(jìn)而得出矩形內(nèi)部網(wǎng)格點(diǎn)個(gè)數(shù)規(guī)律．

解答 解：①當(dāng)k=2時(shí)，直線為y=-2x+8，
網(wǎng)格點(diǎn)橫向一共7行，豎向一共是3列，
所以在y軸和x=4形成的矩形內(nèi)部一共有7×3=21個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)，
而這條連線為矩形的對(duì)角線，與3條橫線有3個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)相交，
所以要減掉3點(diǎn)，總的來說就是矩形內(nèi)部網(wǎng)格點(diǎn)減掉3點(diǎn)的一半，
即為[3×7-3]÷2=9．
②當(dāng)m=2013時(shí)，網(wǎng)格點(diǎn)橫向一共（4k-1）行，豎向一共是3列，
所以在y軸和x=4形成的矩形內(nèi)部一共有（4k-1）×3個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)，
而這條連線為矩形的對(duì)角線，與3條橫線有3個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)相交，
所以要減掉3點(diǎn)，總的來說就是矩形內(nèi)部網(wǎng)格點(diǎn)減掉3點(diǎn)的一半，
根據(jù)題意[（4k-1）×3-3]÷2=2013．
解得k=336；
故答案為：9，336．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了點(diǎn)的坐標(biāo)，關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出圖形，找出點(diǎn)B的縱坐標(biāo)與△AOB內(nèi)部（不包括邊界）的整點(diǎn)m之間的關(guān)系，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．