Question

2．如圖（1），將長(zhǎng)方形OABC沿著AC翻折后得到△ADC，AD交BC于點(diǎn)E，已知點(diǎn)B坐標(biāo)為（8，4）．
（1）判斷△ACE的形狀，并證明；
（2）求直線AC和直線AD的函數(shù)關(guān)系式；
（3）如圖（2），一條垂直于x軸的直線x=t分別交直線AD、AC于M、N．是否存在t的值，使MN=5？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)翻折的性質(zhì)得到∠OAC=∠AC，根據(jù)矩形和平行線的性質(zhì)得到∠OAC=∠ACB，等量代換得到∠DAC=∠ACB，再根據(jù)等腰三角形的判定即可求解；
（2）根據(jù)矩形的性質(zhì)和點(diǎn)B坐標(biāo)可得A、C坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法可得直線AC的函數(shù)關(guān)系式；根據(jù)勾股定理得到BE的長(zhǎng)，得到E的坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法可得直線AD的函數(shù)關(guān)系式；
（3）分別用t表示出M、N的縱坐標(biāo)，再根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式得到關(guān)于t的方程，解方程即可求解．

解答 （1）證明：由翻折的性質(zhì)得∠OAC=∠AC，
∵四邊形OABC是長(zhǎng)方形，
∴OA∥BC，
∴∠OAC=∠ACB，
∴∠DAC=∠ACB，
∴△ACE是等腰三角形的；
（2）解：∵點(diǎn)B坐標(biāo)為（8，4），
∴A（8，0），C（0，4），
設(shè)直線AC的函數(shù)關(guān)系式為y=k₁x+b₁，則$\left\{\begin{array}{l}{8{k}_{1}+_{1}=0}\\{_{1}=4}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{1}=-\frac{1}{2}}\\{_{1}=4}\end{array}\right.$．
故直線AC的函數(shù)關(guān)系式為y=-$\frac{1}{2}$x+4；
設(shè)AE=x，則BE=8-x，
在Rt△ABE中，x²=（8-x）²+4²，解得x=5，
∴E的坐標(biāo)為（5，4），
設(shè)直線AD的函數(shù)關(guān)系式為y=k₂x+b₂，則$\left\{\begin{array}{l}{5{k}_{2}+_{2}=4}\\{8{k}_{2}+_{2}=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{2}=-\frac{4}{3}}\\{_{2}=\frac{32}{3}}\end{array}\right.$．
故直線AD的函數(shù)關(guān)系式為y=-$\frac{4}{3}$x+$\frac{32}{3}$；
（3）當(dāng)x=t時(shí)，M的縱坐標(biāo)為-$\frac{4}{3}$t+$\frac{32}{3}$、N的縱坐標(biāo)為-$\frac{1}{2}$t+4，
∵M(jìn)N=5，
∴-$\frac{4}{3}$t+$\frac{32}{3}$-（-$\frac{1}{2}$t+4）=5，
解得t=2
或∴-$\frac{1}{2}$t+4-（-$\frac{4}{3}$t+$\frac{32}{3}$）=5，
解得t=14．
綜上所述，t的值為2或14．

點(diǎn)評(píng) 考查了一次函數(shù)綜合題，涉及的知識(shí)點(diǎn)有：翻折的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的判定，兩點(diǎn)間的距離公式，待定系數(shù)法求直線解析式，方程思想，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．