Question

7．如圖，點(diǎn)P在∠MAN內(nèi)，點(diǎn)B，C分別是AM，AN上的點(diǎn)，∠MBC和∠NCB的平分線相交于點(diǎn)P．若∠APB=24°，則∠ACB的度數(shù)為48°．

Answer 1

分析 過點(diǎn)P作PD⊥AM于D，PE⊥BC于E，PF⊥AN于F，根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等可得PD=PE，PE=PF，從而得到PD=PF，再根據(jù)到角的兩邊距離相等點(diǎn)在角的平分線上判斷出AP平分∠MAN，然后根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和列式整理可得∠ACB=2∠APB．

解答 解：如圖，過點(diǎn)P作PD⊥AM于D，PE⊥BC于E，PF⊥AN于F，
∵BP、CP分別是∠MBC和∠NCB的平分線，
∴PD=PE，PE=PF，
∴PD=PF，
∴AP平分∠MAN，
∴∠BAP=$\frac{1}{2}$∠BAC，
在△ABC中，∠CBM=∠BAC+∠ACB，
在△ABP中，∠PBM=∠BAP+∠APB，
∵BP是∠MBC的平分線，
∴∠PBM=$\frac{1}{2}$∠CBM，
∴∠BAP+∠APB=$\frac{1}{2}$（∠BAC+∠ACB），
=$\frac{1}{2}$∠BAC+$\frac{1}{2}$∠ACB，
∴∠APB=$\frac{1}{2}$∠ACB，
∴∠ACB=2∠APB=2×24°=48°．
故答案為：48°．

點(diǎn)評 本題考查了角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等的性質(zhì)，到角的兩邊距離相等點(diǎn)在角的平分線上的性質(zhì)，三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和的性質(zhì)，熟記各性質(zhì)并作出輔助線是解題的關(guān)鍵．