Question

9．如圖，在⊙O中，直徑AB交弦CD于點G，CG=DG，⊙O的切線BE交DO的延長線于點E，F(xiàn)是DE與⊙O的交點，連接BD，BF．
（1）求證：∠CDE=∠E；
（2）若OD=4，EF=1，求CD的長．

Answer 1

分析 （1）由在⊙O中，直徑AB交弦CD于點G，CG=DG，根據(jù)垂徑定理即可得AB⊥CD，又由BE是⊙O的切線，易證得CD∥BE，即可證得結論；
（2）易證得△ODG∽△OEB，然后由相似三角形的對應邊成比例，求得OG的長，由勾股定理即可求得DG的長，繼而求得答案．

解答 （1）證明：∵在⊙O中，直徑AB交弦CD于點G，CG=DG，
∴AB⊥CD，
∵BE是⊙O的切線，
∴AB⊥BE，
∴CD∥BE，
∴∠CDE=∠E；

（2）解：∵∠CDE=∠E，∠DOG=∠BOE，
∴△ODG∽△OEB，
∴$\frac{OG}{OB}=\frac{OD}{OE}$，
∵OD=4，EF=1，
∴OB=OF=OD=4，
∴OE=OF+EF=5，
∴$\frac{OG}{4}=\frac{4}{5}$，
∴OG=$\frac{16}{5}$，
∴DG=$\sqrt{O{D}^{2}-O{G}^{2}}$=$\frac{12}{5}$，
∴CD=2DG=$\frac{24}{5}$．

點評 此題考查了切線的性質(zhì)、垂徑定理以及相似三角形的判定與性質(zhì)．注意證得△ODG∽△OEB是解此題的關鍵．