Question

19．如圖：在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，⊙O與AB相切，且點(diǎn)0到直線AB的距離等于△ABC中AB邊上的高，與邊AC，BC分別相交于點(diǎn)M，N，若⊙0半徑為2，當(dāng)⊙0在邊AB上滾動時，則$\widehat{MN}$的長為（　�。�

• A． $\frac{1}{2}$π
• B． $\frac{\sqrt{3}}{2}$π
• C． π
• D． 無法確定

Answer 1

分析 作CD⊥AB垂足為F，點(diǎn)F是切點(diǎn)，LJ OF，OC，作OK⊥AC，OJ⊥BC垂足分別為K、J，先證明△OJC≌△OKH，得OK=OJ再證明RT△OJN≌RT△OKM得到∠NOJ=∠MOK，即可證明∠MON=90°，利用弧長公式求MN的弧長．

解答 解：如圖：作CD⊥AB垂足為F，點(diǎn)F是切點(diǎn)，LJ OF，OC，作OK⊥AC，OJ⊥BC垂足分別為K、J．
在△ABC中，∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠A=∠B=45°，
∵⊙O與AB相切于點(diǎn)F，且點(diǎn)0到直線AB的距離等于△ABC中AB邊上的高
∴OF⊥AB，∵CD⊥AB，
∴OF∥CD，OF=CD，
∴四邊形OFDC是平行四邊形，
∵∠CDA=90°，
∴四邊形OFDC是矩形，
∴OC∥AB，∠COH=90°，
∴∠OCH=∠A=45°，
∴∠OHC=∠OCA=45°，
∴OC=OH，
∵∠OCB=∠OCA+∠ACB=135°，
∴∠OCJ=45°，
在△OJC和△OKH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠J=∠OKC=90°}\\{∠OCJ=∠OHK}\\{OC=OH}\end{array}\right.$，
∴△OJC≌△OKH，
∴OK=OJ，
在RT△OJN和RT△OKM中，
$\left\{\begin{array}{l}{ON=OM}\\{OJ=OK}\end{array}\right.$，
∴△OJN≌△OKM，
∴∠NOJ=∠MOK，
∵∠J=∠OKC=∠JCK=90°，
∴∠JOK=90°，
∵∠NOJ=∠MOK，
∴∠MON=∠JOK=90°
∴$\widehat{MN}$的弧長為=$\frac{1}{4}$•2π•2=π．
故選C．

點(diǎn)評 本題考查圓的有關(guān)性質(zhì)．矩形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、弧長公式等知識，添加輔助線構(gòu)造全等三角形時解題的關(guān)鍵．