Question

4．已知（a+b）（b+c）（c+d）（d+a）=（a+b+c+d）（bcd+cda+dab+abc），求證：ac=bd．

Answer 1

分析 多項式與多項式相乘的法則：多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項乘另外一個多項式的每一項，再把所得的積相加．依此計算，再合并同類項，根據(jù)完全平方公式即可求解．

解答 證明：（a+b）（b+c）（c+d）（d+a）
=（ab+ac+b²+bc）（cd+ac+d²+ad）
=abcd+a²bc+abd²+a²bd+a²c²+ac²d+acd²+a²cd+b²cd+ab²c+b²d²+ab²d+bc²d+abc²+bcd²+abcd
=2abcd+a²bc+abd²+a²bd+a²c²+ac²d+acd²+a²cd+b²cd+ab²c+b²d²+ab²d+bc²d+abc²+bcd²；
（a+b+c+d）（bcd+cda+dab+abc）
=abcd+a²cd+a²bd+a²bc+b²cd+abcd+ab²d+ab²c+bc²d+ac²d+abcd+abc²+bcd²+acd²+abd²+abcd
=4abcd+a²cd+a²bd+a²bc+b²cd+ab²d+ab²c+bc²d+ac²d+abc²+bcd²+acd²+abd²；
∵（a+b）（b+c）（c+d）（d+a）=（a+b+c+d）（bcd+cda+dab+abc），
∴2abcd+a²bc+abd²+a²bd+a²c²+ac²d+acd²+a²cd+b²cd+ab²c+b²d²+ab²d+bc²d+abc²+bcd²
=4abcd+a²cd+a²bd+a²bc+b²cd+ab²d+ab²c+bc²d+ac²d+abc²+bcd²+acd²+abd²，
a²c²+b²d²=2abcd，
a²c²-2abcd+b²d²=0，
（ac-bd）²=0，
ac-bd=0，
ac=bd．

點評 此題考查了多項式乘多項式，運用法則時應(yīng)注意以下兩點：①相乘時，按一定的順序進(jìn)行，必須做到不重不漏；②多項式與多項式相乘，仍得多項式，在合并同類項之前，積的項數(shù)應(yīng)等于原多項式的項數(shù)之積．