Question

7．如圖，⊙O中，點(diǎn)P是弦AB延長線上的一點(diǎn)，連接OP，過P作PQ⊥AP，且與⊙O相切于Q，若OP=4，∠APO=30°，則PA的長是（　�。�

• A． 2$\sqrt{3}$+2$\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{5}$
• C． 2$\sqrt{13}$
• D． $\sqrt{13}$

Answer 1

分析 連接OQ，過O點(diǎn)作OC⊥AB與點(diǎn)C，由PQ⊥OQ，PQ⊥AP，OC⊥AB可得出四邊形COQP為矩形，結(jié)合OP=4，∠APO=30°可算出OC和CP的長度，在Rt△ACO中，由OA與OC的長度結(jié)合勾股定理可得出AC的長度，AC+CP即可得出結(jié)論．

解答 解：連接OQ，過O點(diǎn)作OC⊥AB與點(diǎn)C，如圖所示．

∵PQ與⊙O相切于Q，
∴PQ⊥OQ，
∵PQ⊥AP，OC⊥AB，
∴四邊形COQP為矩形，
∵OP=4，∠APO=30°，
∴OC=2，CP=OQ=OA=2$\sqrt{3}$．
在Rt△ACO中，OC=2，OA=2$\sqrt{3}$，∠ACO=90°，
∴AC=$\sqrt{O{A}^{2}-O{C}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
∴AP=AC+CP=2$\sqrt{2}$+2$\sqrt{3}$．
故選A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的性質(zhì)、勾股定理以及解直角三角形，解題的關(guān)鍵是求出線段AC和線段CP的長度．本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大，解決該類型題目時(shí)，根據(jù)切線的性質(zhì)以及垂徑定理得出線段間的關(guān)系是關(guān)鍵．