Question

2．如圖，已知以△ABC的三邊為邊，在BC的同側分別作等邊三角形ABD、BCE和ACF．
（1）求證：四邊形ADEF是平行四邊形；
（2）△ABC滿足什么條件時，四邊形ADEF是菱形？是矩形？并說明理由；
（3）這樣的平行四邊形ADEF是否總是存在？請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等邊三角形的性質得出AC=AF，AB=BD，BC=BE，∠EBC=∠ABD=60°，求出∠DBE=∠ABC，根據(jù)SAS推出△DBE≌△ABC，根據(jù)全等得出DE=AC，求出DE=AF，同理AD=EF，根據(jù)平行四邊形的判定推出即可；
（2）當AB=AC時，四邊形ADEF是菱形，根據(jù)菱形的判定推出即可；當∠BAC=150°時，四邊形ADEF是矩形，求出∠DAF=90°，根據(jù)矩形的判定推出即可；
（3）這樣的平行四邊形ADEF不總是存在，當∠BAC=60°時，此時四邊形ADEF就不存在．

解答 （1）證明：∵△ABD、△BCE和△ACF是等邊三角形，
∴AC=AF，AB=BD，BC=BE，∠EBC=∠ABD=60°，
∴∠DBE=∠ABC=60°-∠EBA，
在△DBE和△ABC中
$\left\{\begin{array}{l}{BD=BA}\\{∠DBE=∠ABC}\\{BE=BC}\end{array}\right.$
∴△DBE≌△ABC，
∴DE=AC，
∵AC=AF，
∴DE=AF，
同理AD=EF，
∴四邊形ADEF是平行四邊形；

（2）解：當AB=AC時，四邊形ADEF是菱形，
理由是：∵△ABD和△AFC是等邊三角形，
∴AB=AD，AC=AF，
∵AB=AC，
∴AD=AF，
∵四邊形ADEF是平行四邊形，
∴四邊形ADEF是菱形；
當∠BAC=150°時，四邊形ADEF是矩形，
理由是：∵△ABD和△ACF是等邊三角形，
∴∠DAB=∠FAC=60°，
∵∠BAC=150°，
∴∠DAF=90°，
∵四邊形ADEF是平行四邊形，
∴四邊形ADEF是矩形；

（3）解：這樣的平行四邊形ADEF不總是存在，
理由是：當∠BAC=60°時，∠DAF=180°，
此時點D、A、F在同一條直線上，此時四邊形ADEF就不存在．

點評 本題考查了菱形的判定，矩形的判定，平行四邊形的判定，等邊三角形的性質，全等三角形的性質和判定的應用，能綜合運用定理進行推理是解此題的關鍵，題目比較好，難度適中．