Question

6．如圖，點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)，以AC為直徑作半⊙O，點(diǎn)D是半圓上與A、C不重合的一動(dòng)點(diǎn)，延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E，使AD=DE，連接BE、CE．
（1）判斷△AEB的形狀，證明你的結(jié)論；
（2）若點(diǎn)D在運(yùn)動(dòng)中，若DB與⊙O相切時(shí)，判斷DB與CE的位置關(guān)系并證明．
（3）在（2）的條件下，直接寫出tanA的值．

Answer 1

分析 （1）由∠ADC=90°，AC=BC，AD=DE，推出CD∥EB，即可推出∠ADC=∠AEB=90°．
（2）由AD=DE，AO=OC，推出OD∥CE，由BD是⊙O切線，推出∠ODB=90°，推出BD⊥OD，由OD∥CE，即可推出BD⊥CE．
（3）設(shè)OA=OD=OC=a．則CE=CB=2a，設(shè)BD交CE于K．由CK∥OD，推出$\frac{CK}{OD}$=$\frac{BC}{OB}$=$\frac{2}{3}$，推出CK=$\frac{2}{3}$a，EK=$\frac{4}{3}$a，由△DKC∽△EKD，推出DK²=KC•EK，推出DK=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$a，只要證明∠A=∠CDK，
根據(jù)tan∠A=tan∠CDK=$\frac{CK}{DK}$，即可解決問(wèn)題．

解答 解：（1）結(jié)論：△AEB是直角三角形．
理由：∵AC是⊙O直徑，
∴∠ADC=90°，
∵C是AB中點(diǎn)，
∴AC=BC，∵AD=DE，
∴CD∥EB，
∴∠ADC=∠AEB=90°，
∴△AEB是直角三角形．

（2）結(jié)論：DB⊥CE．
理由：∵AD=DE，AO=OC，
∴OD∥CE，
∵BD是⊙O切線，
∴∠ODB=90°，
∴BD⊥OD，∵OD∥CE，
∴BD⊥CE．

（3）設(shè)OA=OD=OC=a．則CE=CB=2a，設(shè)BD交CE于K．
∵CK∥OD，
∴$\frac{CK}{OD}$=$\frac{BC}{OB}$=$\frac{2}{3}$，
∴CK=$\frac{2}{3}$a，
∴EK=$\frac{4}{3}$a，
∵△DKC∽△EKD，
∴DK²=KC•EK，
∴DK=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$a，
∵∠A+∠DCA=90°，∠DCA=∠ODC，∠ODC+∠CDK=90°，
∴∠A=∠CDK，
∴tan∠A=tan∠CDK=$\frac{CK}{DK}$=$\frac{\frac{2}{3}a}{\frac{2\sqrt{2}}{3}a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓綜合題、三角形的中位線定理、平行線分線段成比例定理、勾股定理、相似三角形的判定和性質(zhì)、切線的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，學(xué)會(huì)利用參數(shù)解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)用轉(zhuǎn)化的思想思考問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．