Question

7．如圖，拋物線y=a（x-h）²+k（a＞0）的頂點(diǎn)為P，直線y=m與x軸平行且與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，把線段AB與拋物線含頂點(diǎn)部分組成的圖形ABP，稱作“燕尾形”，頂點(diǎn)P到線段AB的距離稱作“尾長”，AB長稱作“尾寬”．
 （1）當(dāng)“尾長”為8時(shí)：
①若a=2，h=k=0，拋物線y=2x²對應(yīng)的“尾寬”為4；
②若a=2，h=0，k=-8，拋物線y=2x²-8對應(yīng)的“尾寬”為4；
③若a=2，h=0，k=3，拋物線y=2（x-2）²+3對應(yīng)的“尾寬”為4；
（2）當(dāng)“尾長”與“尾寬”相等時(shí)：
①若h=k=0，拋物線y=ax²對應(yīng)的“尾寬”為$\frac{4}{a}$（用含a的式子表示）；
②若h=2，k=3，拋物線y=a（x-2）²+3對應(yīng)的“尾寬”為$\frac{4}{a}$（用含a的式子表示）；
③若拋物線y=ax²-4ax+c（a＞0）對應(yīng)的“尾寬”為6，求a的值．
（3）我們把問題（1）③中拋物線y=2（x-2）²+3對應(yīng)的燕尾形，記為“燕尾1”，相應(yīng)點(diǎn)記為A₁、B₁、P₁，它在坐標(biāo)系中的位置如圖2所示，把問題（2）③中拋物線y=ax²-4ax+c（c＞0）對應(yīng)的燕尾形，記為“燕尾2”，相應(yīng)點(diǎn)記為：A₂、B₂、P₂．
試探索：隨著字母c的取值變化，“燕尾1”的邊界與“燕尾2”的邊界存在公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)情況（直接寫出探索結(jié)果即可）．

Answer 1

分析 （1）將尾長等于8時(shí)，y對應(yīng)的值代入解析式，求得x₁，x₂的值，然后計(jì)算出尾寬即可；
（2）設(shè)尾長為m，則尾寬為m，將尾寬為m時(shí)，y對應(yīng)的值代入解析式，求得x₁，x₂的值，然后計(jì)算出尾寬，最后根據(jù)尾寬$\frac{4}{a}=6$即可求得a的值；
（3）將a=$\frac{2}{3}$代入拋物線y=ax²-4ax+c的解析式得：y=$\frac{2}{3}{x}^{2}-\frac{8}{3}x+c$=$\frac{2}{3}（x-2）^{2}+c-\frac{8}{3}$，其對稱軸為x=2，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，c-$\frac{8}{3}$），燕尾1的對稱軸為x=2，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，3），然后對燕尾2進(jìn)行平移，根據(jù)圖形找出燕尾2的頂點(diǎn)滿足的條件列出等式或不等式，從而可探究出C取值與“燕尾1”的邊界與“燕尾2”的邊界存在公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)的關(guān)系．

解答 解：（1）①當(dāng)“尾長”為8時(shí)，拋物線y=2x²的y=8，將y=8代入拋物線的解析式得：
2x²=8，解得x₁=-2，x₂=2，
∴“尾寬”=2-（-2）=4．
②拋物線y=2x²-8的尾長為8時(shí)，y=0，
將y=0代入得：2x²-8=0，解得：x₁=-2，x₂=2，
∴“尾寬”=2-（-2）=4．
③拋物線y=2（x-2）²+3尾長為8時(shí)，y=11，
將y=11代入y=2（x-2）²+3得2（x-2）²+3=11，
解得：x₁=4，x₂=0，
故答案為：①4；②4；③4；
（2）①設(shè)尾長為m，則尾寬為m．
將y=m代入y=ax²得ax²=m，
解得：x₁=$\sqrt{\frac{m}{a}}$，x₂=$-\sqrt{\frac{m}{a}}$，
∴2$\sqrt{\frac{m}{a}}$=m，
解得：m=0（舍去），m=$\frac{4}{a}$
②設(shè)尾長為m，則尾寬為m．
將y=m+3代入y=a（x-2）²+3得：a（x-2）²+3=m+3，
解得：x₁=2+$\sqrt{\frac{m}{a}}$，x₂=2$-\sqrt{\frac{m}{a}}$，
∴2$\sqrt{\frac{m}{a}}$=m，
由①可知：m=$\frac{4}{a}$
③由①、②可知$\frac{4}{a}$=6，解得a=$\frac{2}{3}$．
故答案為：①$\frac{4}{a}$；②$\frac{4}{a}$；③$\frac{2}{3}$；
（3）將a=$\frac{2}{3}$代入拋物線y=ax²-4ax+c的解析式得：y=$\frac{2}{3}{x}^{2}-\frac{8}{3}x+c$=$\frac{2}{3}（x-2）^{2}+c-\frac{8}{3}$，其對稱軸為x=2，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，c-$\frac{8}{3}$），
燕尾1的對稱軸為x=2，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，3）．
如圖1，當(dāng)c-$\frac{8}{3}$＜-3時(shí)，即c＜$-\frac{1}{3}$時(shí)，燕尾1與燕尾2的邊界不存在交點(diǎn)；
如圖2，當(dāng)c-$\frac{8}{3}$=-3時(shí)，即c=$-\frac{1}{3}$時(shí)，燕尾1與燕尾2的邊界有1個(gè)交點(diǎn)；
如圖3，當(dāng)-3＜c-$\frac{8}{3}$＜3時(shí)，即$-\frac{1}{3}$＜c＜$\frac{17}{3}$時(shí)，燕尾1與燕尾2的邊界有2個(gè)交點(diǎn)；

如圖4，當(dāng)c-$\frac{8}{3}$=3時(shí)，即c=$\frac{17}{3}$，燕尾1與燕尾2的邊界有3個(gè)交點(diǎn)；
如圖5，當(dāng)3＜c-$\frac{8}{3}$＜5時(shí)，即：$\frac{17}{3}$＜c＜$\frac{23}{3}$時(shí)，燕尾1與燕尾2的邊界有4個(gè)交點(diǎn)；
如圖6，當(dāng)c-$\frac{8}{3}$=5時(shí)，即c=$\frac{23}{3}$時(shí)，燕尾1與燕尾2的邊界有無數(shù)個(gè)交點(diǎn)；

如圖7，當(dāng)5＜c-$\frac{8}{3}$＜11時(shí)，即：$\frac{23}{3}$＜c＜$\frac{41}{3}$時(shí)，燕尾1與燕尾2的邊界有2個(gè)交點(diǎn)；
如圖8，當(dāng)c-$\frac{8}{3}$=11時(shí)，即：c=$\frac{41}{3}$時(shí)，燕尾1與燕尾2的邊界有1個(gè)交點(diǎn)；
如圖9，當(dāng)c-$\frac{8}{3}$＞11時(shí)，即：c＞$\frac{41}{3}$時(shí)，燕尾1與燕尾2的邊界沒有交點(diǎn)．

綜上所述，當(dāng)c＜$-\frac{1}{3}$或c＞$\frac{41}{3}$時(shí)，燕尾1與燕尾2的邊界沒有交點(diǎn)；
當(dāng)c=$-\frac{1}{3}$或c=$\frac{41}{3}$時(shí)，燕尾1與燕尾2的邊界有1個(gè)交點(diǎn)；
當(dāng)$-\frac{1}{3}$＜c＜$\frac{17}{3}$或$\frac{23}{3}$＜c＜$\frac{41}{3}$時(shí)，燕尾1與燕尾2的邊界有2個(gè)交點(diǎn)；
當(dāng)c=$\frac{17}{3}$時(shí)，燕尾1與燕尾2的邊界有3個(gè)交點(diǎn)；
當(dāng)$\frac{17}{3}$＜c＜$\frac{23}{3}$時(shí)，燕尾1與燕尾2的邊界有4個(gè)交點(diǎn)；
當(dāng)c=$\frac{23}{3}$時(shí)，燕尾1與燕尾2的邊界有無數(shù)個(gè)交點(diǎn)．

點(diǎn)評 本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解答本題需要同學(xué)們讀懂題意明確尾寬和尾長的定義，根據(jù)題意畫出圖形，結(jié)合圖形找出燕尾2頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)的大小與交點(diǎn)個(gè)數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．