Question

18．已知：矩形ABCD中，M為BC邊上一點(diǎn)，AB=10，BC=24，∠BAM=45°，如圖1，正方形EFGH的頂點(diǎn)E和點(diǎn)B重合，點(diǎn)F、G、H分別在邊AB、AM、BC上．如圖2，P為對(duì)角線AC上一動(dòng)點(diǎn)，正方形EFGH從圖1的位置出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿BC向點(diǎn)C勻速移動(dòng)；同時(shí)點(diǎn)P從C點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿CA向點(diǎn)A勻速移動(dòng)．當(dāng)點(diǎn)F到達(dá)線段AC上時(shí)，正方形EFGH和點(diǎn)P同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，解答下列問(wèn)題：
（1）在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)點(diǎn)F落在線段AM上和點(diǎn)G落在線段AC上時(shí)，分別求出對(duì)應(yīng)t的值；
（2）在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，設(shè)正方形EFGH與△AMC重疊部分的面積為S，請(qǐng)直接寫出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式以及自變量t的取值范圍；
（3）在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在點(diǎn)P，使△DPG是以DG為腰的等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)正方形的性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)可得FG=5，再根據(jù)時(shí)間=路程÷速度，列出算式求出點(diǎn)F落在線段AM上時(shí)t的值；根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)以及線段的和差關(guān)系得到$\frac{1}{2}$MC=7，再根據(jù)時(shí)間=路程÷速度，列出算式求出點(diǎn)G落在線段AC上時(shí)t的值；
（2）分四種情況：①當(dāng)0＜t≤5時(shí)；②當(dāng)5＜t≤7時(shí)；③當(dāng)7＜t≤10時(shí)；④當(dāng)10＜t≤12時(shí)；進(jìn)行討論可得S與t之間的函數(shù)關(guān)系式以及自變量t的取值范圍；
（3）先根據(jù)勾股定理得到DG²=t²-38t+386，DP²=t²-$\frac{100}{13}$t+100，PG²=$\frac{650}{169}$t²-$\frac{1000}{13}$t+386．再分兩種情況：①當(dāng)DG=DP時(shí)，△DPG為等腰三角形；②當(dāng)DG=PG時(shí)，△DPG為等腰三角形；進(jìn)行討論列出方程可得t的值．

解答 解：（1）∵AB=10，∠BAM=45°，四邊形EFGH為正方形，
∴BM=10，∠FAG=∠FGA=45°，
∴AF=FG=EF=$\frac{1}{2}$AB=5，
∴F為AB的中點(diǎn)，G為AM的中點(diǎn)，
∴t=5÷1=5秒，
又∵當(dāng)G落在AC上時(shí)，所走路程為△AMC的中位線的長(zhǎng)．
又∵M(jìn)C=14，
∴$\frac{1}{2}$MC=7，
∴t=7÷1=7秒；               

（2）如圖所示：

①當(dāng)0＜t≤5時(shí)，S=$\frac{1}{2}$t²；
②當(dāng)5＜t≤7時(shí)，S=5²-$\frac{1}{2}$（10-t）²=-$\frac{1}{2}$t²+10t-25；
③當(dāng)7＜t≤10時(shí)，S=5²-$\frac{1}{2}$（10-t）²-$\frac{1}{2}$×$\frac{5}{12}$（t-7）²=-$\frac{17}{24}$t²+$\frac{155}{12}$t-$\frac{845}{24}$；
④當(dāng)10＜t≤12時(shí)，S=5²-$\frac{1}{2}$×$\frac{5}{12}$（t-7）²=-$\frac{5}{24}$t²+$\frac{35}{12}$t+$\frac{355}{24}$；

（3）如圖：

∵DG²=（24-5-t）²+5²=t²-38t+386，
DP²=（10-$\frac{5}{13}$t）²+（$\frac{12}{13}$t）²=t²-$\frac{100}{13}$t+100，
PG²=（5-$\frac{5}{13}$t）²+（19-$\frac{25}{13}$t）²=$\frac{650}{169}$t²-$\frac{1000}{13}$t+386．
①當(dāng)DG=DP時(shí)，△DPG為等腰三角形，
∴t²-38t+386=t²-$\frac{100}{13}$t+100，
解得t=$\frac{1859}{197}$，
∵$\frac{1859}{197}$＜12，
∴存在點(diǎn)P，使△DPG為等腰三角形
②當(dāng)DG=PG時(shí)，△DPG為等腰三角形，
∴t²-38t+386=$\frac{650}{169}$t²-$\frac{1000}{13}$t+386，
∴$\frac{481}{169}$t²-$\frac{506}{13}$t=0，
解得t₁=0（舍去），t₂=$\frac{506}{37}$＞12（舍去）．
綜上，存在點(diǎn)P，當(dāng)t=$\frac{1859}{197}$秒時(shí)，△DPG是以DG為腰的等腰三角形．

點(diǎn)評(píng) 考查了四邊形綜合題，涉及的知識(shí)點(diǎn)有：正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，時(shí)間=路程÷速度，勾股定理，函數(shù)思想，方程思想，以及分類思想的運(yùn)用，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．