Question

4．如圖，M、A，B，C為拋物線y=ax²上不同的四點(diǎn)，M（-2，1），線段MA，MB，MC與y軸的交點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，G．且EF=FG=1．
（1）若F的坐標(biāo)為（0，t），求點(diǎn)B的坐標(biāo)（用t表示）；
（2）若△AMB的面積是△BMC面積的$\frac{1}{2}$，求直線MB的解析式．

Answer 1

分析 （1）由點(diǎn)M在拋物線上，把坐標(biāo)代入解析式求解，確定出拋物線解析式，設(shè)出點(diǎn)F（0，t）用t表示出直線MB的解析式即可；
（2）由（1）的方法確定出直線MG，ME的解析式，分別和拋物線聯(lián)立求出交點(diǎn)坐標(biāo)，用點(diǎn)到直線的距離公式求出距離，最后用面積關(guān)系確定出t值．

解答 解：（1）∵M(jìn)（-2，1）為拋物線y=ax²上，
∴4a=1，
∴a=$\frac{1}{4}$，
∴拋物線解析式為y=$\frac{1}{4}$x²，
∵F的坐標(biāo)為（0，t），
∴直線MB的解析式為y=$\frac{t-1}{2}$x+t，
∴拋物線解析式為y=$\frac{1}{4}$x²，
∴$\frac{1}{4}$x²=$\frac{t-1}{2}$x+t，
∴x=-2（舍）或x=2t，
∴B（2t，t²），
（2）∵EF=FG=1，F(xiàn)（0，t），
∴點(diǎn)E（0，t-1），G（0，t+1），
∵M(jìn)（-2，1），
∴直線ME的解析式為y=$\frac{t-2}{2}$x+t-1①
直線MG的解析式為y=$\frac{t}{2}$x+t+1，②
∵拋物線解析式為y=$\frac{1}{4}$x²，③
聯(lián)立①③得點(diǎn)A（2t-2，（t-1）²），
聯(lián)立②③得點(diǎn)C（2t+2，（t+1）²），
∵直線MB的解析式為y=$\frac{t-1}{2}$x+t，
∴點(diǎn)A到直線MB的距離為d₁=$\frac{|2（t-1）^{2}-2（t-1）^{2}+2t|}{\sqrt{（t-1）^{2}+4}}$=$\frac{2t}{\sqrt{{t}^{2}-2t+5}}$
點(diǎn)c到直線MB的距離為d₂=$\frac{2t+4}{\sqrt{{t}^{2}-2t+5}}$，
∵△AMB的面積是△BMC面積的$\frac{1}{2}$，
∵$\frac{{S}_{△AMB}}{{S}_{△BMC}}$=$\frac{\frac{1}{2}MB×try0n40_{1}}{\frac{1}{2}MB×0kjedxc_{2}}$=$\frac{59x5cox_{1}}{hj5o0ve_{2}}$=$\frac{2t}{2t+4}$=$\frac{1}{2}$，
∴t=2，
∴直線MB的解析式為y=$\frac{1}{2}$x+2．

點(diǎn)評(píng) 此題是二次函數(shù)性質(zhì)題，主要考查了函數(shù)關(guān)系式的確定和點(diǎn)到直線的距離公式，解本題的關(guān)鍵是用t表示出的交點(diǎn)坐標(biāo)，難點(diǎn)是點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用．