Question

6．已知，△AOB是等邊三角形，△AOC是以AO為底邊的等腰三角形，∠AOC=30°，M、N分別是以BO、AB邊上的動(dòng)點(diǎn)，∠MCN=60°，求證：MN=OM+AN．

Answer 1

分析 利用旋轉(zhuǎn)法將△COM旋轉(zhuǎn)到△CAE的位置，可證△CAE≌△COM，再利用角的相等關(guān)系，邊的相等關(guān)系證明△MCN≌△ECN，利用全等的對應(yīng)邊相等證題．

解答 解：如圖，延長BA到E，使AE=OM，連接CE，

∵△AOB是等邊三角形，△AOC是以AO為底邊的等腰三角形，∠AOC=30°，
∴∠MOC=∠BOA+∠AOC=60°+30°=90°，∠ACO=180°-∠AOC-∠ACO=120°，
∠CAE=180°-∠BAC=180°-∠BOC=90°，
在△CAE和△COM中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=OM}\\{∠CAE=∠COM}\\{CA=CO}\end{array}\right.$
∴△CAE≌△COM，
∴∠ECA=∠MCO，CE=CM，
∠NCE=∠NCA+∠ECA=∠NCA+∠MCO=∠ACO-∠MCN=120°-60°=60°，
∵在△MCN和△ECN中，
$\left\{\begin{array}{l}{MC=EC}\\{∠MCN=∠ECN}\\{CN=CN}\end{array}\right.$，
∴△MCN≌△ECN，
∴MN=NE，
∴MN=NE=AE+AN=OM+AN．

點(diǎn)評 此題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)及等邊三角形的性質(zhì)的綜合運(yùn)用，解決本題的關(guān)鍵是作出輔助線，構(gòu)建全等三角形．