Question

18．如圖，矩形ABCD的邊長(zhǎng)AD=3，AB=2，E為AB的中點(diǎn)，F(xiàn)在邊BC上，且BF=2FC，AF分別與DE、DB相交于點(diǎn)M，N，則MN的長(zhǎng)為$\frac{9}{20}\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 首先過(guò)F作FH⊥AD于H，交ED于O，于是得到FH=AB=2，根據(jù)勾股定理求得AF，根據(jù)平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理求得OH，由相似三角形的性質(zhì)求得AM與AF的長(zhǎng)，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，求得AN的長(zhǎng)，即可得到結(jié)論．

解答 解：過(guò)F作FH⊥AD于H，交ED于O，則FH=AB=2
∵BF=2FC，BC=AD=3，
∴BF=AH=2，F(xiàn)C=HD=1，
∴AF=$\sqrt{F{H}^{2}+A{H}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
∵OH∥AE，
∴$\frac{HO}{AE}$=$\frac{DH}{AD}$=$\frac{1}{3}$，
∴OH=$\frac{1}{3}$AE=$\frac{1}{3}$，
∴OF=FH-OH=2-$\frac{1}{3}$=$\frac{5}{3}$，
∵AE∥FO，
∴△AME∽FMO，
∴$\frac{AM}{FM}$=$\frac{AE}{FO}$=$\frac{3}{5}$，
∴AM=$\frac{3}{8}$AF=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$，
∵AD∥BF，
∴△AND∽△FNB，
∴$\frac{AN}{FN}$=$\frac{AD}{BF}$=$\frac{3}{2}$，
∴AN=$\frac{3}{5}$AF=$\frac{6\sqrt{2}}{5}$，
∴MN=AN-AM=$\frac{6\sqrt{2}}{5}$-$\frac{3\sqrt{2}}{4}$=$\frac{9\sqrt{2}}{20}$．
故答案為：$\frac{9}{20}\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理，比例的性質(zhì)，準(zhǔn)確作出輔助線(xiàn)，求出AN與AM的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．