Question

13．已知：如圖，點(diǎn)A（0，6），點(diǎn)B（14，8），在第四象限找點(diǎn)C，使得△ABC為等腰三角形，且∠C=45°，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2，-8）、（8+$\sqrt{2}$，-7$\sqrt{2}$）、（16，-6）．

Answer 1

分析 首先根據(jù)題意，判斷出ABC為等腰三角形的三種情況：（1）兩個(gè)腰是AB、AC；（2）兩個(gè)腰是AC、BC；（3）兩個(gè)腰是AB、BC；然后分類討論，根據(jù)等腰三角形的兩個(gè)腰的長(zhǎng)度相等，以及兩條相互垂直的直線的斜率的乘積是-1，分別求出點(diǎn)C的坐標(biāo)各是多少即可．

解答 解：（1）如圖1，當(dāng)?shù)妊�三角形ABC的兩個(gè)腰是AB、AC時(shí)，，
設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（a，b），BC的中點(diǎn)D的坐標(biāo)為（$\frac{a+14}{2}，\frac{b+8}{2}$），
因?yàn)椤螩=45°，所以∠B=45°，
所以∠BAC=180-45-45=90°，
即△ABC為等腰直角三角形，
所以$\frac{8-6}{14-0}×\frac{b-6}{a-0}=-1$，
整理，可得b=6-7a…（1）；
因?yàn)镈是BC的中點(diǎn)，
所以AD⊥BC，
所以$\frac{\frac{b+8}{2}-6}{\frac{a+14}{2}-0}×\frac{b-8}{a-14}=-1$，
整理，可得a²+b²-12b-164=0…（2），
把（1）代入（2），解得a=2，
所以b=6-7×2=-8，
所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2，-8）．

（2）如圖2，當(dāng)?shù)妊�三角形ABC的兩個(gè)腰是AC、BC時(shí)，，
設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（a，b），AB的中點(diǎn)E的坐標(biāo)為（$\frac{0+14}{2}，\frac{6+8}{2}$），
即點(diǎn)E的坐標(biāo)為（7，7），
因?yàn)镋是AB的中點(diǎn)，
所以AB⊥CE，
所以$\frac{8-6}{14-0}×\frac{b-7}{a-7}=-1$，
整理，可得b=56-7a…（1），
因?yàn)椤螩=45°，
所以$\frac{b-6}{a}$-$\frac{b-8}{a-14}$=1+$\frac{b-6}{a}$•$\frac{b-8}{a-14}$，
整理，可得a²+b²-16a-36=0…（2）；
把（1）代入（2），解得a=8±$\sqrt{2}$，
根據(jù)圖示，可得C點(diǎn)的橫坐標(biāo)大于E點(diǎn)的橫坐標(biāo)，
所以a=8+$\sqrt{2}$，
所以b=56-7×（8+$\sqrt{2}$）=-7$\sqrt{2}$，
所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為（8+$\sqrt{2}$，-7$\sqrt{2}$）．

（3）如圖3，當(dāng)?shù)妊�三角形ABC的兩個(gè)腰是AB、BC時(shí)，，
設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（a，b），AC的中點(diǎn)F的坐標(biāo)為（$\frac{a+0}{2}，\frac{b+6}{2}$），
因?yàn)椤螩=45°，所以∠BAC=45°，
所以∠B=180-45-45=90°，
即△ABC為等腰直角三角形，
所以$\frac{8-6}{14-0}×\frac{b-8}{a-14}=-1$，
整理，可得b=106-7a…（1）；
因?yàn)镕是AC的中點(diǎn)，
所以BF⊥AC，
所以$\frac{\frac{b+6}{2}-8}{\frac{a+0}{2}-14}×\frac{b-6}{a-0}=-1$，
整理，可得a²+b²-28a-16b+60=0…（2），
把（1）代入（2），解得a=12或a=16，
根據(jù)圖示，可得C點(diǎn)的橫坐標(biāo)大于B點(diǎn)的橫坐標(biāo)，
所以a=16，
所以b=106-7×16=-6，
所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為（16，-6）．
綜上，可得
點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2，-8）、（8+$\sqrt{2}$，-7$\sqrt{2}$）、（16，-6）．
故答案為：（2，-8）、（8+$\sqrt{2}$，-7$\sqrt{2}$）、（16，-6）．

點(diǎn)評(píng) （1）此題主要考查了一次函數(shù)綜合題，考查了分析推理能力，考查了分類討論思想的應(yīng)用，考查了從已知函數(shù)圖象中獲取信息，并能利用獲取的信息解答相應(yīng)的問(wèn)題的能力；解答此題的關(guān)鍵是判斷出△ABC為等腰三角形的三種情況：（1）兩個(gè)腰是AB、AC；（2）兩個(gè)腰是AC、BC；（3）兩個(gè)腰是AB、BC．
（2）此題還考查了等腰三角形的性質(zhì)，以及兩條相互垂直的直線的特征，要熟練掌握．