Question

在△ABC中，已知AB=13，BC=12，CA=5，D為邊AB的中點(diǎn)，DE⊥AB且與∠ACB的平分線交于點(diǎn)E，求DE的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的綜合題

專題：

分析：以點(diǎn)D為圓心，DA為半徑作圓交直線DE于點(diǎn)F，連接CF，AF，BF，首先利用勾股定理的逆定理證明△ABC為直角三角形，進(jìn)而可得∠FCB=∠ECB，即E和F點(diǎn)重合，再由直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半即可求出DE的長(zhǎng)．

解答：解：以點(diǎn)D為圓心，DA為半徑作圓交直線DE于點(diǎn)F，連接CF，AF，BF，
∵AB=13，BC=12，CA=5．
∴BC²+CA²=AB²，
∴△ABC為直角三角形，
∵DE⊥AB，
∴∠DBE=90°
∴∠FCB=

1

2

∠FDB=

1

2

×90°=45°，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ECB=

1

2

∠ACB=45°，
∴∠FCB=∠ECB，
∵AB為圓的直徑，
∴∠AEB=90°，
∴△AEB是直角三角形，
∴DE=DF=

1

2

AB=

13

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了勾股定理的逆定理的運(yùn)用、圓周角定理的運(yùn)用以及直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半性質(zhì)的運(yùn)用，題目的設(shè)計(jì)巧妙、新穎，解題的關(guān)鍵是正確添加輔助線構(gòu)造直角三角形，是一道非常不錯(cuò)的中考題．