Question

如圖，矩形ABCD中，AB=6，BC=8，點M、N同時從點B出發(fā)，分別在BC、BA上運動，若點M的運動速度為每秒2個單位長度，且是點N運動速度的2倍，當其中一個點到達終點時，停止一切運動．以MN為對稱軸做△MNB的對稱圖形△MNB′．
（1）點B′恰好在AD上的時間為

 

秒；
（2）在整個運動過程中，求△MNB′與矩形ABCD重疊部分的面積及最大值．

Answer 1

考點：四邊形綜合題

專題：

分析：（1）如圖，當B′與AD交于點E，作FM⊥AD于F，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可以得出ME=MB=2t，由勾股定理就可以表示出EF，就可以表示出AE，再由勾股定理就可以求出t的值；
（2）根據(jù)三角形的面積公式，分情況討論，當0＜t≤

15

4

和

15

4

＜t≤4時由求分段函數(shù)的方法就可以求出結(jié)論．

解答：解：（1）如圖，當B′與AD交于點E，作FM⊥AD于F，
∴∠DFM=90°．
∵四邊形ABCD是矩形，
∴CD=AB．AD=BC．∠D=∠C=90°．
∴四邊形DCMF是矩形，
∴CD=MF．
∵△MNB與△MNE關(guān)于MN對稱，
∴△MNB≌△MNE，
∴ME=MB，NE=BN．
∵BN=t，BM=2t，
∴EN=t，ME=2t．
∵AB=6，BC=8，
∴CD=MF=6，CB=DA=8．AN=6-t
在Rt△MEF和Rt△AEN中，由勾股定理，得
EF=

4t2-36

，AE=

12t-36

，
∴

4t2-36

+

12t-36

=2t，
∴4t

12t-36

=12t，
∴t=

15

4

．
∴AE=3，AN=

9

4

．
故答案為：

15

4

；
（2）∵△MNE與△MNB關(guān)于MN對稱，
∴∠MEN=∠MBN=90°．
∵∠MEN+∠MBN+∠EMB+∠ENB=360°，
∴∠EMB+∠ENB=180°．
∵∠ENA+∠ENB=180°，
∴∠ENA=∠EMB．
∵tan∠ENA=

4

3

，
∴tan∠EMB=

4

3

．
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠EFG=∠EMB．
∵BN=t，BM=2t，
∴EN=t，ME=2t．
∵AB=6，BC=8，
∴CD=MF=6，CB=DA=8．AN=6-t
∴GA=

4

3

（6-t），GN=

5

3

（6-t），
∵EG=EN-GN=t-

5

3

（6-t）=

8

3

t-10，
∴EF=（

8

3

t-10）×

3

4

=2t-

15

2

．
∴當

15

4

＜t≤4時，
S=t²-

1

2

（2t-

15

2

）（

8

3

t-10）=-

5

3

（t-6）²+

45

2

，
∴t=4時，S_最大=

95

6

．
當0＜t≤

15

4

時，S=t²．
∴t=

15

4

時，S_最大=

225

16

．
∵

95

6

＞

225

16

．
∴最大值為

95

6

．

點評：本題考查了的矩形的性質(zhì)的運用，勾股定理的運用，軸對稱的性質(zhì)的運用，二次函數(shù)的解析式的運用，二次函數(shù)的性質(zhì)的運用，解答時求出二次函數(shù)的解析式是關(guān)鍵．