Question

2．如圖，△ABC中，∠ACB=90°，在BC上截取CD=AC，E在AB上，∠CED=90°，CE=2，ED=1，F(xiàn)是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)G在CB上，∠GFB=2∠ECB，則GF的長為$\frac{\sqrt{5}}{2}$．

Answer 1

分析 根據(jù)勾股定理得到CD=$\sqrt{C{E}^{2}+D{E}^{2}}$=$\sqrt{5}$，過A作AH⊥CE于H，通過△ACH≌△CDE，得到CH=DE=1，求得HE=1，推出∠CAE=2∠CAH=2∠DCE，得到∠CAF=∠GFB，根據(jù)平行線的判定定理得到AC∥FG，證得FG是△ABC的中位線，根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解答 解：∵∠CED=90°，CE=2，ED=1，
∴CD=$\sqrt{C{E}^{2}+D{E}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
過A作AH⊥CE于H，
∴∠AHC=∠AHE=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACE+∠DCE=∠ACE+∠CAH=90°，
∴∠CAH=∠DCE，
在△CAH與△DCE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠CAH=∠DCE}\\{∠AHC=∠CED}\\{AC=CD}\end{array}\right.$，
∴△ACH≌△CDE，
∴CH=DE=1，
∴HE=1，
∴CH=EH，
∴∠CAE=2∠CAH=2∠DCE，
∵∠GFB=2∠ECB，
∴∠CAF=∠GFB，
∴AC∥FG，
∵F是AB的中點(diǎn)，
∴FG是△ABC的中位線，
∴FG=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
故答案為：$\frac{\sqrt{5}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，三角形中位線的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．