Question

4．如圖1，AB是半圓O的直徑，且AB=4，點(diǎn)P（不與點(diǎn)A、B重合）為半圓上一點(diǎn)．將圖形沿BP折疊，分別得到點(diǎn)A、O的對稱點(diǎn)A′，O′．設(shè)∠ABP=α．
（1）當(dāng)α=10°時(shí)，∠ABA′=20°，當(dāng)點(diǎn)O′落在$\widehat{PB}$上時(shí)，α的度數(shù)為30°；
（2）如圖2，當(dāng)BA′與⊙O相切時(shí)，求折痕的長；
（3）若線段BO′與半圓只有一個(gè)公共點(diǎn)B，確定α的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由折疊的性質(zhì)可知∠ABA′=2∠ABP，可求得答案；當(dāng)O′落在$\widehat{PB}$上時(shí)，連接OO′，則OO′⊥PB，可證得△OO′B為等邊三角形，可求得答案；
（2）由切線的性質(zhì)結(jié)合折疊的性質(zhì)可求得∠ABP=45°，連接AP，在Rt△ABP中，由勾股定理可求得BP；
（3）由（2）可知當(dāng)A′B與半圓相切時(shí)可知有一個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)P點(diǎn)向點(diǎn)B靠近時(shí)，則α逐漸變大，當(dāng)點(diǎn)P與B重合時(shí)，達(dá)到最大值，可求得α的范圍．

解答 解：
（1）由折疊的性質(zhì)可知∠A′BP=∠ABP=α，
∴∠ABA′=2∠ABP=2α=2×10°=20°；
當(dāng)O′落在$\widehat{PB}$上時(shí)，連接OO′，如圖1，則OO′⊥PB，

∵∠A′BP=∠ABP，
∴OB=O′B=OO′，
∴△OO′B為等邊三角形，
∴∠ABA′=60°，
∴α=30°，
故答案為：20；30；
（2）當(dāng)BA′與⊙O相切時(shí)，則∠ABA′=90°，
∴∠ABP=45°，
連接AP，如圖2，則∠APB=90°，且AP=PB，

∵AB=4，
∴BP=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB=2$\sqrt{2}$，
即折痕的長為2$\sqrt{2}$；
（3）由（2）可知當(dāng)A′B與半圓相切時(shí)可知有一個(gè)交點(diǎn)，
此時(shí)∠ABP=45°，即α=45°，
當(dāng)P點(diǎn)向點(diǎn)B靠近時(shí)，則α逐漸變大，當(dāng)點(diǎn)P與B重合時(shí)，達(dá)到最大值，
此時(shí)∠ABP=90°，
∵P與B不重合，
∴α的取值范圍為：45°≤α＜90．

點(diǎn)評 本題為圓的綜合問題，涉及折疊的性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)、切線的性質(zhì)、等腰直角三角形、勾股定理等知識點(diǎn)．在（1）中的第二個(gè)空中證得△OO′B為等邊三角形是解題的關(guān)鍵，在（2）中求得∠ABP=45°是解題的關(guān)鍵，在（3）中確定出滿足條件的點(diǎn)P的兩個(gè)極端位置是解題的關(guān)鍵．本題考查知識點(diǎn)較多，綜合較強(qiáng)，難度適中．