Question

9．如圖，直線y=kx+2與x軸、y軸分別于A，B兩點(diǎn)，其中$\frac{OB}{OA}$=$\frac{1}{2}$，點(diǎn)C，D分別為直線l：y=$\frac{1}{2}$x+1與x軸、y軸的交點(diǎn)．
（1）求A點(diǎn)的坐標(biāo)和k的值；
（2）在直線l上存在一點(diǎn)P，使得S_△AOB=$\frac{2}{3}$S_△APB，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
（3）點(diǎn)M是直線l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，那么在x軸上是否存在點(diǎn)N，使得△MON為等腰直角三角形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)M以及對(duì)應(yīng)的點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）求出點(diǎn)B坐標(biāo)，根據(jù)OA=2OB，推出點(diǎn)A坐標(biāo)，把A（4，0）代入直線y=kx+2即可解決問(wèn)題．
（2）如圖1中，設(shè)P（m，$\frac{1}{2}$m+1）．分兩種情形①當(dāng)P在AB上方時(shí)，根據(jù)${S}_{△{P}_{1}AB}$=${S}_{△{P}_{1}BO}$+${S}_{△{P}_{1}OA}$-S_△AOB計(jì)算即可．②當(dāng)P在AB下方，與C重合時(shí)，滿足S_△AOB=$\frac{2}{3}$S_△APB．
（3）存在，分三種情形討論即可：①如圖2中，作∠AOB的平分線交CD于點(diǎn)M．易知M（2，2），作MN⊥OM交x軸于N，作MN′⊥OA于N′．則△OMN′是等腰直角三角形；△OMN是等腰直角三角形．②如圖3中，當(dāng)點(diǎn)M與D重合時(shí)，在x軸上截取ON=OM，ON′=OM=2，此時(shí)△MON′是等腰直角三角形，△MON是等腰直角三角形，③如圖4中，作OM平分∠BOC交CD于M．易知M（-$\frac{2}{3}$，$\frac{2}{3}$），作MN⊥x軸于N，作MN′⊥OM交OC于N′．則△OMN′是等腰直角三角形，△OMN是等腰直角三角形．

解答 解：（1）∵直線y=kx+2與y軸分別于B點(diǎn)，
∴B（0，2），
∴OB=2，
∵OA=2OB，
∴OA=4，
∴A（4，0），
把A（4，0）代入直線y=kx+2得到k=-$\frac{1}{2}$，
∴y=-$\frac{1}{2}$x+2．
∴A（4，0），k=-$\frac{1}{2}$．

（2）如圖1中，設(shè)P（m，$\frac{1}{2}$m+1）．

①當(dāng)P在AB上方時(shí)，
∵${S}_{△{P}_{1}AB}$=${S}_{△{P}_{1}BO}$+${S}_{△{P}_{1}OA}$-S_△AOB，
∴$\frac{2}{3}$×[$\frac{1}{2}$×2×m+$\frac{1}{2}$×4×（$\frac{1}{2}$m+1）-$\frac{1}{2}$×4×2]=$\frac{1}{2}$×4×2，
解得m=4，此時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo)為（4，3）．

②當(dāng)P在AB下方，與C重合時(shí)，
滿足S_△AOB=$\frac{2}{3}$S_△APB
此時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo)（-2，0）．

（3）存在．理由如下：
①如圖2中，作∠AOB的平分線交CD于點(diǎn)M．易知M（2，2），作MN⊥OM交x軸于N，作MN′⊥OA于N′．

則△OMN′是等腰直角三角形，M（2，2），N′（2，0）；△OMN是等腰直角三角形，M（2，2），N（4，0）．
②如圖3中，當(dāng)點(diǎn)M與D重合時(shí)，在x軸上截取ON=OM，ON′=OM=2，
此時(shí)△MON′是等腰直角三角形，此時(shí)M（0，1），N′（-1，0）；△MON是等腰直角三角形，此時(shí)M（0，1），N（1，0）．

③如圖4中，作OM平分∠BOC交CD于M．易知M（-$\frac{2}{3}$，$\frac{2}{3}$），作MN⊥x軸于N，作MN′⊥OM交OC于N′．


則△OMN′是等腰直角三角形，M（-$\frac{2}{3}$，$\frac{2}{3}$），N′（-$\frac{4}{3}$，0）；△OMN是等腰直角三角形，M（-$\frac{2}{3}$，$\frac{2}{3}$），N（-$\frac{2}{3}$，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查一次函數(shù)綜合題、三角形的面積．等腰直角三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問(wèn)題，需要不能漏解，學(xué)會(huì)用分割法求三角形的面積，屬于中考?jí)狠S題．