Question

14．已知：△ABC和△DCE中，CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°，M、N分別為AB、DE的中點．

（1）如圖1，若D、E分別在AC、BC上，直按寫出$\frac{MN}{BE}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
（2）將圖1中的△CDE旋轉至如圖2的位置時，求$\frac{MN}{BE}$的值．

Answer 1

分析 （1）如圖1，連接CN，CM，根據等腰直角三角形的性質得到∠CDE=∠A=∠B=45°，CN⊥DE，CM⊥AB，得到DE∥AB，CM⊥DE，過E作EH⊥AB于H，根據等腰直角三角形的性質得到EH=MN=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BE，即可得到結論；
（2）如圖2，連接CN，CM，根據等腰直角三角形的性質得到∠NCE=∠ACM=45°，CE=$\sqrt{2}$CN，BC=$\sqrt{2}$CM，推出△BCE∽△MCN，根據相似三角形的性質即可得到結論．

解答 解：（1）如圖1，連接CN，CM，
∵CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠CDE=∠A=∠B=45°，CN⊥DE，CM⊥AB，
∵D、E分別在AC、BC上，
∴DE∥AB，∴CM⊥DE，
∴CN，CM在同一條直線上，
過E作EH⊥AB于H，
∴△BHE是等腰直角三角形，四邊形EHMN是矩形，
∴EH=MN=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BE，
∴$\frac{MN}{BE}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
故答案為：$\frac{\sqrt{2}}{2}$；

（2）如圖2，連接CN，CM，
∵CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠NCE=∠ACM=45°，CE=$\sqrt{2}$CN，BC=$\sqrt{2}$CM，
∴$\frac{CE}{CN}=\frac{BC}{CM}=\sqrt{2}$，∠BCE=90°+∠ACE=45°+45°+∠ACE=∠MCN，
∴△BCE∽△MCN，
∴$\frac{MN}{BE}=\frac{CM}{BC}=\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點評 本題考查了相似三角形的判定和性質，等腰直角三角形的性質，矩形的性質，正確的作出輔助線是解題的關鍵．