Question

6．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是BC延長線上的一點，線段BD的垂直平分線EG交AB于點E，交BD于點G．    
（1）當(dāng)∠B=30°時，AE和EF有什么關(guān)系？請說明理由；
（2）當(dāng)點D在BC延長線上（CD＜BC）運動時，點E是否在線段AF的垂直平分線上？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)線段垂直平分線性質(zhì)得出DE=BE，求出∠D=∠B=30°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和三角形外角性質(zhì)求出∠A=∠DEA=60°，即可得出答案；
（2）求出∠A=∠AFE，根據(jù)線段垂直平分線性質(zhì)得出即可．

解答 解：（1）AE=EF，
理由是：∵線段BD的垂直平分線EG交AB于點E，交BD于點G，
∴DE=BE，
∵∠B=30°，
∴∠D=∠B=30°，
∴∠DEA=∠D+∠B=60°，
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，
∴∠A=60°，
∴∠A=∠DEA=60°，
∴△AEF是等邊三角形，
∴AE=EF；

（2）點E是在線段AF的垂直平分線，
理由是：∵∠B=∠D，∠ACB=90°=∠FCD，
∴∠A=∠DFC，
∵∠DFC=∠AFE，
∴∠A=∠AFE，
∴EF=AE，
∴點E是在線段AF的垂直平分線．

點評 本題考查了線段垂直平分線性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，能熟記線段垂直平分線內(nèi)容是解此題的關(guān)鍵，注意：線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等．