Question

12．如圖，已知直線y=x+k和雙曲線y=$\frac{k+1}{x}$（k為正整數(shù)）交于A，B兩點(diǎn)．
（1）當(dāng)k=1時(shí)，求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)k=2時(shí)，求△AOB的面積；
（3）當(dāng)k=1時(shí)，△OAB的面積記為S₁，當(dāng)k=2時(shí)，△OAB的面積記為S₂，…，依此類推，當(dāng)k=n時(shí)，△OAB的面積記為S_n，若S₁+S₂+…+S_n=$\frac{133}{2}$，求n的值．

Answer 1

分析 （1）由k=1得到直線和雙曲線的解析式，組成方程組，求出方程組的解，即可得到A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）先由k=2得到直線和雙曲線的解析式，組成方程組，求出方程組的解，即可得到A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；再求出直線AB的解析式，得到直線AB與y軸的交點(diǎn)（0，2），利用三角形的面積公式，即可解答．
（3）根據(jù)當(dāng)k=1時(shí)，S₁=$\frac{1}{2}$×1×（1+2）=$\frac{3}{2}$，當(dāng)k=2時(shí)，S₂=$\frac{1}{2}$×2×（1+3）=4，…得到當(dāng)k=n時(shí)，S_n=$\frac{1}{2}$n（1+n+1）=$\frac{1}{2}$n²+n，根據(jù)若S₁+S₂+…+S_n=$\frac{133}{2}$，列出等式，即可解答．

解答 解：（1）當(dāng)k=1時(shí)，直線y=x+k和雙曲線y=$\frac{k+1}{x}$化為：y=x+1和y=$\frac{2}{x}$，
解$\left\{\begin{array}{l}{y=x+1}\\{y=\frac{2}{x}}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=-1}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=2}\end{array}\right.$，
∴A（1，2），B（-2，-1），
（2）當(dāng)k=2時(shí)，直線y=x+k和雙曲線y=$\frac{k+1}{x}$化為：y=x+2和y=$\frac{3}{x}$，
解$\left\{\begin{array}{l}{y=x+2}\\{y=\frac{3}{x}}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=-3}\\{y=-1}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=3}\end{array}\right.$，
∴A（1，3），B（-3，-1）
設(shè)直線AB的解析式為：y=mx+n，
∴$\left\{\begin{array}{l}{3=m+n}\\{-1=-3m+n}\end{array}\right.$
∴$\left\{\begin{array}{l}{m=1}\\{n=2}\end{array}\right.$，
∴直線AB的解析式為：y=x+2
∴直線AB與y軸的交點(diǎn)（0，2），
∴S_△AOB=$\frac{1}{2}$×2×1+$\frac{1}{2}$×2×3=4；
（3）當(dāng)k=1時(shí)，S₁=$\frac{1}{2}$×1×（1+2）=$\frac{3}{2}$，
當(dāng)k=2時(shí)，S₂=$\frac{1}{2}$×2×（1+3）=4，
…
當(dāng)k=n時(shí)，S_n=$\frac{1}{2}$n（1+n+1）=$\frac{1}{2}$n²+n，
∵S₁+S₂+…+S_n=$\frac{133}{2}$，
∴$\frac{1}{2}$×（${1}^{2}+{2}^{2}+{3}^{2}+\\;…+{n}^{2}$…+n²）+（1+2+3+…n）=$\frac{133}{2}$，
整理得：$\frac{1}{2}×\frac{n（n+1）（2n+1）}{6}+\frac{n（n+1）}{2}=\frac{133}{2}$，
解得：n=6．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)，解決本題的關(guān)鍵是聯(lián)立函數(shù)解析式，組成方程組，求交點(diǎn)坐標(biāo)．在（3）中注意找到三角形面積的規(guī)律是關(guān)鍵．