Question

2．如圖，拋物線y=x²+bx+c與x軸交于A（-1，0），B（3，0）兩點，頂點M關(guān)于x軸的對稱點是M′．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若直線AM′與此拋物線的另一個交點為C，求△CAB的面積；
（3）是否存在過A，B兩點的拋物線，其頂點P關(guān)于x軸的對稱點為Q，使得四邊形APBQ為正方形？若存在，求出此拋物線的解析式；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)軸對稱，可得M′的坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法，可得AM′的解析式，根據(jù)解方程組，可得C點坐標(biāo)，根據(jù)三角形的面積公式，可得答案；
（3）根據(jù)正方形的性質(zhì)，可得P、Q點坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式．

解答 解：（1）將A、B點坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，得$\left\{\begin{array}{l}{1-b+c=0}\\{9+3b+c=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
拋物線的解析式y(tǒng)=x²-2x-3；
（2）將拋物線的解析式化為頂點式，得
y=（x-1）²-4，
M點的坐標(biāo)為（1，-4），
M′點的坐標(biāo)為（1，4），
設(shè)AM′的解析式為y=kx+b，
將A、M′點的坐標(biāo)代入，得
$\left\{\begin{array}{l}{-k+b=0①}\\{k+b=4②}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=2}\\{b=2}\end{array}\right.$，
AM′的解析式為y=2x+2，
聯(lián)立AM′與拋物線，得
$\left\{\begin{array}{l}{y=x+2}\\{y={x}^{2}-2x-3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=-1}\\{{y}_{1}=0}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=5}\\{{y}_{2}=12}\end{array}\right.$
C點坐標(biāo)為（5，12）．
S_△ABC=$\frac{1}{2}$×4×12=24；
（3）存在過A，B兩點的拋物線，其頂點P關(guān)于x軸的對稱點為Q，使得四邊形APBQ為正方形，
由ABPQ是正方形，A（-1，0）B（3，0），得
P（1，-2），Q（1，2），或P（1，2），Q（1，-2），
①當(dāng)頂點P（1，-2）時，設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-1）²-2，
將A點坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，得
a（-1-1）²-2=0，
解得a=$\frac{1}{2}$，
拋物線的解析式為y=$\frac{1}{2}$（x-1）²-2，
②當(dāng)P（1，2）時，設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-1）²+2，將
A點坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，得
a（-1-1）²+2=0，
解得a=-$\frac{1}{2}$，
拋物線的解析式為y=-$\frac{1}{2}$（x-1）²+2，
綜上所述：y=$\frac{1}{2}$（x-1）²-2或y=-$\frac{1}{2}$（x-1）²+2，使得四邊形APBQ為正方形．

點評 本題考查了二次函數(shù)綜合題，（1）利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；（2）利用軸對稱的性質(zhì)得出M′的解析式，利用待定系數(shù)法得出AM′的解析式，利用解方程組得出C點坐標(biāo)是解題關(guān)鍵；（3）利用正方形的性質(zhì)得出P、Q點坐標(biāo)是解題關(guān)鍵，又利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，注意要分類討論，以防遺漏．