Question

19．某住宅小區(qū)將現(xiàn)有一塊三角形的綠化地改造為一塊圓形的綠化地如圖1．已知原來三角形綠化地中道路AB長為16$\sqrt{2}$米，在點(diǎn)B的拐彎處道路AB與BC所夾的∠B為45°，在點(diǎn)C的拐彎處道路AC與BC所夾的∠C的正切值為2（即tan∠C=2），如圖2．
（1）求拐彎點(diǎn)B與C之間的距離；
（2）在改造好的圓形（圓O）綠化地中，這個(gè)圓O過點(diǎn)A、C，并與原道路BC交于點(diǎn)D，如果點(diǎn)A是圓�。▋�(yōu)�。┑缆稤C的中點(diǎn)，求圓O的半徑長．

Answer 1

分析 （1）作AE⊥BC于E，根據(jù)正弦函數(shù)求得AE，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求得BE，根據(jù)正切函數(shù)求得EC，進(jìn)而即可求得BC；
（2）連接AD，先根據(jù)已知求得三角形ADC是等腰三角形，進(jìn)而根據(jù)垂徑定理的推論求得AE經(jīng)過圓心，連接OC，根據(jù)勾股定理即可求得圓的半徑．

解答 解：（1）作AE⊥BC于E，
∵∠B=45°，
∴AE=AB•sin45°=16$\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=16，
∴BE=AE=16，
∵tan∠C=2，
∴$\frac{AE}{EC}$=2，
∴EC=$\frac{AE}{2}$=8，
∴BC=BE+EC=16+8=24；
（2）連接AD，
∵點(diǎn)A是圓弧（優(yōu)�。┑缆稤C的中點(diǎn)，
∴∠ADC=∠C，
∴AD=AC，
∴AE垂直平分DC，
∴AE經(jīng)過圓心，
設(shè)圓O的半徑為r，
∴OE=16-r，
在RT△OEC中，OE²+EC²=OC²，
即（16-r）²+8²=r²，
解得r=10，
∴圓O的半徑為10．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，這就要求學(xué)生把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為直角三角形的問題，利用三角函數(shù)解決問題．