Question

17．如圖，拋物線y=x²-2x-3與坐標(biāo)軸交于A，B，C三點(diǎn)，點(diǎn)P為拋物線上一點(diǎn)，OE⊥PB于E，∠PEC=45°，求P點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

分析 連接BC，設(shè)OD=b，構(gòu)建相似三角形，先根據(jù)二次函數(shù)的解析式求出A、B、C的坐標(biāo)，根據(jù)同角的三角函數(shù)得：$\frac{DE}{OD}=\frac{OD}{BD}$，表示DE=$\frac{^{2}}{BD}$，再利用兩角對(duì)應(yīng)相等證明△CDE∽△BDC，得$\frac{CD}{BD}=\frac{DE}{DC}$，列方程求出b的值，寫出
D（0，-$\frac{3}{2}$），注意點(diǎn)D在y軸的負(fù)半軸，縱坐標(biāo)為負(fù)數(shù)；接著求直線PB的解析式，與二次函數(shù)解析式組成方程組，求方程組的解，一個(gè)是點(diǎn)B的坐標(biāo)，另一個(gè)即是點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答 解：連接BC，設(shè)BP交y軸于點(diǎn)D，OD=b，
當(dāng)x=0時(shí)，y=-3，
∴C（0，-3），OC=3，
當(dāng)y=0時(shí)，x²-2x-3=0，
（x-3）（x+1）=0，
x₁=3，x₂=-1，
∴A（-1，0），B（3，0），
∴OB=3，
∵OE⊥PB，
∴∠OED=90°，
∴∠ODE+∠DOE=90°，
∵∠DOB=90°，
∴∠ODE+∠OBD=90°，
∴∠DOE=∠OBD，
∴sin∠DOE=sin∠OBD，
$\frac{DE}{OD}=\frac{OD}{BD}$，
∴$\frac{DE}=\frac{BD}$，
∴DE=$\frac{^{2}}{BD}$，
在Rt△BOC中，OC=OB，
∴∠OCB=45°，
∵∠PEC=45°，
∴∠OCB=∠PEC，
∵∠CDE=∠CDB，
∴△CDE∽△BDC，
∴$\frac{CD}{BD}=\frac{DE}{DC}$，
∴$\frac{3-b}{BD}=\frac{\frac{^{2}}{BD}}{3-b}$，
∴（3-b）²=b²，
b=$\frac{3}{2}$，
∴D（0，-$\frac{3}{2}$），
設(shè)直線PB的解析式為：y=kx+b，
把B（3，0）和D（0，-$\frac{3}{2}$）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{b=-\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{2}}\\{b=-\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
∴直線PB的解析式為：y=$\frac{1}{2}$x-$\frac{3}{2}$，
則$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x-\frac{3}{2}}\\{y={x}^{2}-2x-3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=3}\\{{y}_{1}=0}\end{array}\right.$  $\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=-\frac{1}{2}}\\{{y}_{2}=-\frac{7}{4}}\end{array}\right.$，
∴P（-$\frac{1}{2}$，-$\frac{7}{4}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題是二次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)問題，考查了函數(shù)圖象與兩坐標(biāo)軸交點(diǎn)坐標(biāo)的求法：①與x軸交點(diǎn)→令y=0，②與y軸交點(diǎn)→令x=0，還考查了利用兩點(diǎn)坐標(biāo)求一次函數(shù)的解析式：①設(shè)直線解析式為：y=kx+b，②把兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入列二元一次方程組，③解方程組即可；在函數(shù)中常利用相似或三角函數(shù)列比例式求線段的長(zhǎng)，從而得出點(diǎn)的坐標(biāo)．