Question

2．如圖，AB⊥BC，DC⊥BC，AB=6，BC=14，CD=4，點(diǎn)P是邊BC上的一點(diǎn)，連接AP，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥AP，垂足為E．
（1）當(dāng)點(diǎn)P在邊BC上移動(dòng)時(shí)（點(diǎn)P不與點(diǎn)B重合），AE•AP的值是否發(fā)生變化？若不變，求出這個(gè)值；若變化，說(shuō)明理由；
（2）當(dāng)點(diǎn)P移動(dòng)到BC的中點(diǎn)時(shí)，連接AC、BC，求證：∠PAC=∠PCE；
（3）點(diǎn)P在BC上移動(dòng)，當(dāng)以P、C、D為頂點(diǎn)的三角形與△PAB相似時(shí)，求PB的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）結(jié)論：AE•AP的值不發(fā)生變化．AE•AP=36．只要證明△ABE∽△APB，推出$\frac{AB}{AP}$=$\frac{AE}{AB}$，即可解決問(wèn)題．
（2）只要證明△CPE∽△APC即可．
（3）分兩種情形討論①若△PBA∽△PCD，②若△PBA∽△DCP，分別列出方程即可解決問(wèn)題．

解答 （1）解：結(jié)論：AE•AP的值不發(fā)生變化．AE•AP=36．
理由：∵AB⊥BC，DC⊥BC，
∴∠ABP=∠AEB，∵∠BAE=∠BAP，
∴△ABE∽△APB，
∴$\frac{AB}{AP}$=$\frac{AE}{AB}$，
∴AE•AP=AB²=36．

（2）證明：∵∠BPA=∠BPE，∠PBA=∠PEB，
∴△PBE∽△PAB，
∴$\frac{PB}{PA}$=$\frac{PE}{PB}$，∵PB=PC，
∴PC²=PE•PA，
∴$\frac{PC}{PE}$=$\frac{PA}{PC}$，∵∠CPE=∠CPA，
∴△CPE∽△APC，
∴∠PCE=∠PAC．

（3）設(shè)PB=x則PC=14-x，
①若△PBA∽△PCD，
則有$\frac{PB}{PC}$=$\frac{AB}{CD}$，
∴$\frac{x}{14-x}$=$\frac{6}{4}$，
∴PB=x=$\frac{42}{5}$．
②若若△PBA∽△DCP，
則有$\frac{PB}{DC}$=$\frac{AB}{CP}$，
∴$\frac{x}{4}$=$\frac{6}{14-x}$，
∴x=2或12，
∴PB=2或12，
綜上所述，PB=$\frac{42}{5}$或2或12．

點(diǎn)評(píng) 本題考查相似形綜合題、幾天倒計(jì)時(shí)記住相似三角形的判定方法，熟練掌握新三角形的判定是解題的關(guān)鍵，學(xué)會(huì)分類(lèi)討論，考慮問(wèn)題要全面，不能漏解，屬于中考常考題型．